Смекни!
smekni.com

Системи нелінійних рівнянь (стр. 2 из 5)

1.3 Метод простих ітерацій

Із вихідної системи (1.2.1) шляхом еквівалентних перетворень переходимо до системи виду:

(1.3.1)

Ітераційний процес, який визначається формулами

,

можна почати, задав початкове приближення

. Достатньою умовою збіжності ітераційного процесу є одно з двох умов:

чи
.

Розпишемо першу умову:

при

при
.

Розпишемо другу умову:

при

при
.

Розглянемо один із способів приведення системи (1.2.1) до виду (1.3.1), допустиме збіжній ітерації.

Нехай задана система другого порядку виду:

.

Потрібно привести її до виду:

.

Множимо перше рівняння системи на невідому постійну

, друге - на
, потім додаємо їх і добавляємо в обидві частини рівняння
. Отримаємо перше рівняння перетвореної системи

де

.

Далі, помножимо перше рівняння системи на невідому сталу

, друге - на
, потім додамо їх і добавляємо в обидві частини рівняння
. Тоді друге рівняння перетвореної системи буде мати вид

де

.

Невідомі сталі

визначимо з допустимі умови збіжності

и
.

Запишемо ці умови більш детально:

Припустимо, що вирази під знаком модуля дорівнюють нулю, і отримаємо систему з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими для визначення сталих

:

.

При такому виборі параметрів умови збіжності будуть дотримані, якщо часткові похідні функцій

і
будуть змінюватись не дуже швидко в околі точки
.

Щоб розв’язати систему, потрібно задати початкове приближення

и обчислити значення похідних
і
,
в цій точці. Обчислення
здійснюється на кожному
кроці ітерацій, при цьому
,
,
.

Метод простих ітерацій є найбільш універсальним і простим для реалізації на ЭОМ. Якщо система має великий порядок, то застосування даного метода, який має повільну швидкість збіжності, не рекомендується. В цьому випадку, використовують метод Ньютона, який має швидшу збіжність.

1.4 Метод Ньютона для розвязання

Нехай (

) — деяка послідовність невироджених n-матриць. Тоді, очевидно, послідовність задач

, k = 0,1,2,...

маємо ті ж розв’язки, що і вихідне рівняння F(x)=0, і для приближеного знаходження цих розв’язків можна формально записати ітераційний процес

, k = 0,1,2,... (1.4.1)

Який має вигляд метода простих ітерацій (1.3.1) при

. У випадку
- це дійсно МПІ з лінійною збіжністю послідовності (
) Якщо же
різні за різних k, то формула (1.4.1) визначає велику кількість ітераційних методів з матричними параметрами
. Розглянемо деякі з цих методів.

Припустимо

, де

— матриця Якобі вектор-функція F(x). Підставимо це

в (1.4.1), отримаємо явну формулу метода Ньютона

, (1.4.2)

Цю формулу, що вимагає перетворення матриць на кожній ітерації, можна переписати в неявному вигляді:

. (1.4.3)

Використання (1.4.3) припускає при кожному k = 0,1,2,... розв’ язок лінійної алгебраїчної системи

відносно векторній поправці

, а потім добавлення цієї поправки до поточного наближення для отримання наступного:

.

До розв’язку таких лінійних систем можна використовувати найрізноманітніші методи як прямі, так і ітераційні в залежності від розмірності n розв’язуваної задачі і специфіки матриць Якобі

.

Порівнюючи (1.4.3) з формальним розкладом F(x) в ряд Тейлера

,

бачимо, що послідовність (

) в методі Ньютона отримується в результаті заміни при кожному k=0,1,2,... нелінійного рівняння F(x) = 0 чи, при допустимій гладкості F(x)), рівняння

лінійним рівняння

тобто з покроковою лінеаризацією. Як наслідок цього факту, можна полягати, що при допустимій гладкості F(x) і достатньо гарному початковому наближенні

збіжність, яка виникає методом Ньютона послідовності (
) до розв’язку
буде квадратичною і в багаторазовому випадку.

Новим, порівняно з скалярним випадком, фактором, який ускладнює використання метода Ньютона до розв’язання n-вимірних систем, є необхідність розв’язання n-вимірних лінійних задач на кожній ітерації, обчислення яких збільшується зі збільшенням n, тобто кажучи, непропорційно швидко. Зменшення таких затрат є одним з напрямків модифікації метода Ньютона.