Системи нелінійних рівнянь (стр. 3 из 5)

1.5 Модифікований метод Ньютона

Модифікований метод Ньютона облегшує першу задачу. Модифікація полягає в том, що матриця обчислюється не в кожній точці, а лише в початковій.

Якщо матрицю Якобі F'(х) обчислювати і перетворити лише один раз — в початковій точці

, то від метода Ньютона (5) перейдемо до модифікованого методу Ньютона

(1.5.1)

Цей метод потребує значно менших обчислень на один ітераційний крок, але ітерації при цьому може потребуватися значно більше для досягнення заданої точності в порівнянні з основним методом Ньютона (1.4.2), оскільки, будучи частковим випадком МПІ (

), він має лише швидкість збіжності геометричної прогресії.

Компромісний варіант — це обчислення і перетворення матриць Якобі не на кожному ітераційному кроці, а через декілька кроків (інколи такі методи називаються рекурсивними).

Наприклад, просте чергування основного (1.4.2) і модифікованого (1.5.1) методів Ньютона приводить до ітераційної формули

(1.5.2)

де

k = 0,1,2,… За тут приймається результат останнього прийому одного кроку основного, а потім одного кроку модифікованого метода, тобто

(1.5.3)

Доведено, що такий процес при певних умовах призводить до кубічно-збіжних послідовностей (

).

Розділ 2

Практичне використання методів розв’язання систем нелінійних рівнянь

2.1 Розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad

Оператор solve

За допомогою символьного процесу Mathcad можна отримати аналітичний розв’язок системи нелінійних рівнянь. Зробити це можливо двома способами. По-перше, можна скористатися оператором solve (розв’язати). В цьому випадку система повинна бути внесена в його лівий маркер у вигляді вектора. Змінні, значення яких повинно бути знайдено, потрібно ввести через кому в правий маркер оператора solve. Відповідь буде повернена у вигляді матриці, в рядках якої будуть записані корні знайдених розв’язків. Їх послідовність буде така ж, якою була послідовність відповідних змінних в правому маркері оператора solve.

Приклад 2.1.1:

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

Розв’язання

Блок Given-Find

По-друге, можна використати так кажучи обчислювальний блок Given-Find (Given – Дано, Find – розв’язати систему рівнянь).

Щоб розв’язати систему рівнянь за допомогою обчислювального блоку, необхідно виконати наступні дії:

1. Наберіть увідне слово Given.

2. Під увідним словом задайте систему рівнянь.

3. Введіть функцію розв’язання системи рівнянь find(x1,x2,…). В дужках через кому задайте змінні в тій послідовності, в якій повинні бути розташовані у відповіді відповідні корні.

4. В якості оператора виводу результату роботи функції find(x1,x2,…) використовуйте оператор символьного виводу « → ». Якщо ж використати оператор виводу « = », то для розв’яку системи, при умові добавлення початкових наближень, буде запущено один із чисельних алгоритмів.

Приклад 2.2.1

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

Розв’язок:

Графічна ілюстрація:

Приклад 2.2.2

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

Розв’язання

Розв’язок:

Приклад 2.2.3

Метод простих ітерацій

Приклад 2.3.1

Розв’язок:

Метод Ньютона

В наступному прикладі метод Ньютона реалізовано у вигляді функції, вхідні параметри якого – вектор початкових наближень і точність обчислень.

Приклад 2.4.1

Розв’язок: