Системи нелінійних рівнянь (стр. 1 из 5)

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Курсова робота

З дисципліни «Чисельні методи»

Тема проекту: « Системи нелінійних рівнянь»

Виконала:

студентка групи КН-II-2

Омельченко Ю.В.

Київ 2008

Зміст

Вступ

Розділ 1 Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

1.1 Нелінійні рівняння

1.2 Система нелінійних рівнянь

1.3 Метод простих ітерацій

1.4 Метод Ньютона

1.5 Модифікований метод Ньютона

Розділ 2 Практичне використання методів розв’язання систем нелінійних рівнянь

2.1 Розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad

2.2 Розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Excel

2.3 Розв’язання систем нелінійних рівнянь на мові С++

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

З розвитком нової обчислюваної техніки інженерна практика наших днів більш часто зустрічається з математичними задачами, точне вирішення яких отримати досить складно чи неможливо. В цих випадках звичайно застосовують ті чи інші наближенні обчислення. Ось чому наближені та чисельні методи математичного аналізу отримали за останні роки широкий розвиток і набули виключно важливе значення.

Нові обчислювальні засоби спричинили переоцінку відомих методів вирішення задач з точки зору доцільності їх реалізації на ЕОМ і стимулювали створення більш ефективних.

Предметом вивчення обчислювальної математики є чисельні методи вирішення задач математичного аналізу: вивчення алгоритму метода, умови збіжності ітераційних методів, вивчення границь використання методів, дослідження оцінки похибки методів і обчислень. Головним розділом обчислювальної математики є реалізація чисельних методів на ЕОМ, тобто створення програми для потрібного алгоритму і вирішення конкретної задачі за допомогою складеної програми.

У даній курсовій роботі я розгляну чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь. Серед них метод простих ітерацій та метод Ньютона в різних модифікаціях. Ці методи реалізовані в Mathcad, Excel та на мові програмування С++.

Розділ 1 Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

1.1 Нелінійні рівняння

Нелінійними рівняннями називаються рівняння виду

. (1.1.1)

Тут

- нелінійна функція:

– Нелінійна алгебраїчна функція виду ;

– Трансцендентні функції – тригонометричні, обернені тригонометричні, логарифмічні, показникові и гіперболічні функції;

– комбінування цих функцій

.

Розв’язком нелінійного рівняння (1.1.1) є така точка

, яка при підстановці у рівняння (1.1.1) перетворює його у тотожність. На практиці не завжди вдається підібрати такий розв’язок. В цьому випадку, розв’язок рівняння (1.1.1) знаходиться із застосуванням наближених (чисельних) методів. Тоді розв’язком нелінійного рівняння (1.1.1) буде така точка , при підстановці якої у рівняння (1.1.1) останнє буде виконуватися з певним степенем точності, тобто , де - мала величина. Знаходження таких розв’язків складає основу чисельних методів і обчислюваної математики.

Розв’язання нелінійних рівнянь складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів;

2) уточнення коренів нелінійних рівнянь.

На першому етапі необхідно дослідити рівняння і з’ясувати є корні чи ні. Якщо корні є, то скільки їх, і потім з’ясувати інтервали, в кожному з яких знаходиться єдиний корінь.

Перший спосіб відокремлення коренів – графічний. Виходячи із рівняння (1.1.1), можна побудувати графік функції

. Тоді точка перетину графіка з віссю абсцис є приближенням значення кореня. Якщо має складний вигляд, то представимо її у вигляді різниці двох функцій . Так як , то виконується рівність . Побудуємо два графіки , . Значення - приблизне значення кореня (Рис.1), яке є абсцисою точки перетину двох графіків.

Другий спосіб відокремлення коренів нелінійних рівнянь – аналітичний. Процес відокремлення коренів нелінійних рівнянь базується на наступних теоремах.

Теорема 1. Якщо функція

неперервна на відрізку і змінює на кінцях відрізка знак (тобто ), то на міститься хоча б один корінь.

Теорема 2. Якщо функція

неперервна на відрізку , виконується умова вигляду і похідна зберігає знак на , то на відрізку міститься єдиний корінь.

Теорема 3. Якщо функція

є многочленом степені і на кінцях відрізка змінюється знак, то на міститься непарна кількість коренів (якщо похідна зберігає знак на , то корінь єдиний). Якщо на кінцях відрізка функція не змінює знак, то рівняння (1.1.1) або не має коренів на , або має парну кількість коренів.

При аналітичному методі дослідження необхідно з’ясувати інтервали монотонності функції

. Для цього необхідно обчислити критичні точки , тобто точки, у яких перша похідна дорівнює нулю чи не існує. Тоді вся числова вісь розбивається на інтервали монотонності . На кожному із них з’ясовується знак похідної , де . Потім виділяємо ті інтервали монотонності, на яких функція змінює знак. На кожному із цих інтервалів для пошуку кореня використовуються методі уточнення коренів.

1.2 Система нелінійних рівнянь

Система нелінійних рівнянь має вигляд:

(1.2.1)

Тут

- невідомі змінні, а система (1.2.1) називається звичайною системою порядку , якщо хоча б одна із функцій нелінійна.

Розв’язання систем нелінійних рівнянь – одна із складних задач обчислювальної математики. Складність полягає у тому, щоб з’ясувати: чи має система розв’язок, і, якщо – так, то скільки. Уточнення розв’зків у заданій області – більш проста задача.

Нехай функції

визначені в областях . Тоді область і буде тією областю, де можна знайти розв’язок. Найбільш відомими методами уточнення розв’язків є метод простих ітерацій та метод Ньютона.