2. За допомогою величини
, відомого n і таблиці 6.2 визначають надійну ймовірність.Надійним називається інтервал значень хі у який попадає правдиве значення хд величини, що вимірюється, попадає в даний інтервал.
Надійною ймовірністю ( вірогідністю) вимірювання називається імовірністю Рд того, що правдиве значення хд величини, що вимірюється попадає в даний надійний інтервал.
Ця величина визначається в долях одиниці або в процентах. Необхідно встановити ймовірність того, що хд попаде в зону а<xд<в. Надійна імовірність Рд описується виразом:
(6.30)де Ф(t) – функція Лапласса, аргументом якої є відношення µ до середньоквадратичного σ, тобто
t=µ/ σ (6.31)
µ=b-x; µ= - (a-x), t – гарантований коефіцієнт.
Функція Ф(t) – це інтегральна функція Лапласа:
(6.32)Її можна записати так:
Числові значення Ф(t), приведені в додатку табл. I.
Коли задані межі появи події А(m1 i m2 ), які відрізняються від np на [x], то інтегральна формула Лапласа набуде такого вигляду:
(6.34)У цьому випадку:
(6.35)Застосовуючи інтегральну формулу Лапласа, слід врахувати, що функція Лапласа – непарна функція тобто, що:
F(-a)= -F(a)
Виходячи з того і взявши до уваги, що:
(6.36)можна записати:
(6.37)Отже функція Лапласа
виражає ймовірність того, що випадкове відхилення t буде в межах –t1 ≤ t ≤ t1. Величина цієї імовірності чисельно дорівнює площі між кривою Лапласа віссю ot і ординатою t=-t1; t=t1( 6.2 ).-t 0 t t
Щоб знайти ймовірність P(m1 ≤ m ≤ m2), треба:
1) визначити відхилення:
x1=m1-np i x2=m2-np;
2) знайти одиницю стандартного відхилення:
3) знайти величини:
4) за таблицею (додаток 1) знайти:
F(t1) i F(t2)
Інтервал ймовірностей широко використовується в розрахунках, що пов’язані із застосуванням методів вибірок, зокрема, коли треба:
1) оцінити результати вибірки з певною імовірністю;
2) визначити найменшу чисельність вибірки, яка забезпечує потрібну точність;
3) визначити границі відхилень генеральної середньої від вибіркової.
При вимірюванні один із результатів різко відрізняється від інших, виникає підозра, що допущена груба помилка.
Позначимо значення, яке відрізняється від ряду інших вимірів – статистичного ряду –Х*, а всі останні результати Х1, Х2..., Хn, підрахуємо середнє арифметичне:
і порівняємо абсолютну величину різниці х* - звеличиною . Для отриманого відношенняпідрахуємо ймовірність 1-2Ф(t) за допомогою таблиці I (додаток I ). Може бути два випадки:
1). Якщо, відношення, що розглядається, буде мати значення не менше ніж t, при умові, що значення х* не має грубої помилки, що помилка результату х* є випадковою.
2).Якщо підрахована таким чином ймовірність буде дуже малою, то значення, яке “вискакує” має грубу помилку і його необхідно виключити з ряду. Яку ймовірність рахувати дуже малою, залежить від конкретних умов розв’язку задачі; якщо вибрати (призначити) дуже низький рівень малих ймовірностей, то грубі помилки можуть залишитися, якщо ж взяти цей рівень невизначено великим, то можна виключити результати із випадковими помилками, необхідними для правильної обробки результатів вимірювання. Взагалі приймають один з трьох рівнів малих ймовірностей:
- 5% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,05);
- 1% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,01);
- 0,1% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,001);
При вибраному рівні a малих ймовірностей, значення х* , яке “вискакує” має грубу помилку, якщо для відповідного відношення t ймовірність
, тоді підкреслюють, що х* має грубу помилку з надійністю висновку , значення , для якого , і, значить, , називається критичним значенням відношення t при надійності Р. Так, якщо (1% рівень), то Р=0,99, критичне значення (див. Додаток I), і як тільки відношення t перевищить це критичне значення, ми можемо бракувати (значення х*, яке “вискакує” з надійністю висновка 0,99). Підкреслимо, що цей спосіб застосовується тоді, коли величина d середньої квадратичної помилки точно відома раніше.Найбільш простий спосіб вилучення із статистичного ряду х*, яке різко виділяється є правило трьох сігм. Розкид випадкових величин від середнього значення не перевищує
хmax,min=
(6.38).Більш вірогідний є метод, який базується на використанні надійного інтервалу. Нехай є статистичний ряд малої вибірки, який підчиняється закону нормального розподілу. При наявності грубих помилок критерій їх появи:
; ; (6.39)
де хmax, xmin найбільше і найменше значення із n вимірів.
В таблиці 6.3 наведенні максимальні значення
, які виникають внаслідок статистичного розкиду. Якщо , то значення необхідно виключити із статистичного ряду, як грубу помилку. При виключається величина . Після виключення грубих помилок визначають нові значення і із або вимірів.Таблиця 6.3
n | bmax при Рд | n | bmax при Рд | |||||
0.90 | 0.95 | 0.99 | 0.90 | 0.95 | 0.99 | |||
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | 1.41 1.64 1.79 1.89 1.97 2.04 2.10 2.15 2.19 2.23 2.26 2.30 | 1.41 1.69 1.87 2.00 2.09 2.17 2.24 2.29 2.34 2.39 2.43 2.46 | 1.41 1.72 1.96 2.13 2.26 2.37 2.46 2.54 2.61 2.66 2.71 2.76 | 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 | 2.33 2.35 2.38 2.40 2.43 2.45 2.54 2.61 2.67 2.72 2.76 2.8 | 2.49 2.52 2.55 2.58 2.60 2.62 2.72 2.79 2.85 2.90 2.95 2.99 | 2.80 2.84 2.87 2.90 2.93 2.96 3.07 3.16 3.22 3.28 3.33 3.37 |
Третій спосіб: задається надійна ймовірність РД із таблиці 6.4 в залежності від
знаходять коефіцієнт q. Визначають гранично допустиму абсолютну похибку окремого виміру (6.40).Якщо
, то виключається. Визначають відносну похибку результатів серії вимірювань при заданій надійній ймовірності РД;