Знаходження оберненої матриці за формулою (стр. 2 из 3)

1. (

k,s,

(ks)A=k(sA )

)

2. (

A,B,

k(A+B)=kA+kB

)

3. (

k,s,

(k+s)A=kA+sA

)

На множину всіх m?n – матриць відносно операцій додавання і множення їх на число можна дивитися як на m?n-вимірний векторний простір.

Нехай А_m_?_n=(a_ij), В_n_?_s=(b_ij) – дві матриці розмінностей відповідно m?n та n?s. Добутком матриці А_m_?_n на матрицю В_n_?_s називається така матриця С_m_?_s=(c_ij) , що

c_ij=a_i₁b₁_j+a_i₂b₂_j+…+a_inb_nj=

a_irb_rj .

Бачимо, добуток матриці А на матрицю В визначено тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

В результаті множення матриці А на матрицю В одержуємо матрицю С з таким числом рядків, як матриця А, і з таким числом стовпців, як і матриця В.

Для квадратних матриць однакового порядку визначені обидва добутки АВ та ВА, які є матрицями того ж порядку, що й матриці А та В. При цьому АВ може не дорівнювати ВА. Дія утворення добутку матриці А на матрицю В називається множенням матриці А на матрицю В. Множення матриць має такі властивості:

1. (

А, В, C, для яких мають зміст добутки АВ та ВС, [( АВ)С=А(ВС)] ),

2. (

А, В, C, для яких мають зміст сума В+С і добуток АВ (а, отже, AC), [A(B+C)=AB+AC]); аналогічно, (
A,B,C, для яких мають зміст сума A+B і добуток AC (а, отже, BC), [(A+B)C=AC+BC]),

3. у випадку, коли розглядувані матриці є квадратними матрицями n-го порядку, матриця Е_n_?_n =

, задовольняє умову:

(

А_n_?_n [А_n_?_n·Е_n_?_n= Е_n_?_n· А_n_?_n= А_n_?_n])

Обернена матриця

Як відомо, для кожного числа а≠0 існує обернене число, тобто таке число а^-1, що а∙а^-1 = а^-1∙а = 1.

Оскільки в множині квадратних матриць n-го порядку роль одиниці відіграє одинична матриця Е, то природно, за аналогією, прийняти таке означення: матриця А називається оберненою для квадратної матриці А, якщо А?=А?=Е. Легко зрозуміти, що не для кожної квадратної матриці існує обернена матриця. Питання про існування для даної матриці А оберненої матриці виявляється складним. Зважаючи на некомутативність множення матриць ми говоритимемо зараз про праву обернену матрицю, тобто про таку матрицю А^-1, що добуток матриці А справа на цю матрицю дає одиничну матрицю

AA^-1 = E (1)

Якщо матриця А вироджена, то, якби матриця А^-1 існувала, то добуток, що стоїть в лівій частині рівності (1), був би виродженою матрицею, тоді як насправді матриця E , яка стоїть в правій частині цієї рівності, є невиродженою, оскільки її визначник рівний одиниці. Таким чином, вироджена матриця не може мати правої оберненої матриці. Такі ж міркування показують, що вона не має і ліву обернену матрицю і тому для виродженої матриці обернена матриця взагалі не існує.

Отже, з'ясуємо, які умови має задовольняти матриця А, щоб для неї існувала обернена матриця. Нехай

— довільно вибрана матриця n-го порядку. Матриця

в якій елементами i-го рядка (i=1, 2, ..., п) є алгебраїчні доповнення елементів і-го стовпця матриці А, називається взаємною матрицею для матриці А.

Теорема 1. Визначник det A дорівнює сумі добутків всіх елементів будь-якого його рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Теорема 2. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника det A на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Беручи до уваги теореми 1, 2 та позначивши через detA визначник матриці A, обчислимо добутки

. Дістанемо

. (2)

Матриця А=(a_і_k) називається невиродженою (або неособливою), якщо її визначник відмінний від нуля. Вона називається виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює нулю. Із співвідношень (2) випливає, що якщо матриця А невироджена, то взаємна їй матриця

також буде невиродженою, причому det

дорівнює (n-1)-му степеневі det A.

Переходячи від рівностей (1) до рівності визначників, дістанемо

звідки, оскільки

Теорема 3. Для того щоб існувала матриця, обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.

Необхідність. Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця ?. Тоді А?=Е. Звідси, за теоремою про множення визначників

, тобто

. Тому

, і, отже, матриця А — невироджена.

Достатність. Нехай матриця А — невироджена. Тоді, як випливає з рівностей (2), матриця

є оберненою до матриці А.

Матрицю, обернену до матриці А, позначають символом А^-1. Доведемо, що для будь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А^-1. Справді, якщо матриця С така, що АС = СА = Е, то

САА^-1= (СA)А^-1 = ЕА^-1= А^-1,

САА^-1= С(AА^-1) = CЕ= C,

і отже, С=А^-1. Таким чином, для кожної невиродженої матриці A=(a_ik) існує, і притому тільки одна, обернена матриця

(3)

Співвідношення (3) називають формулою оберненої матриці. Якщо матриця А невироджена, то обернена до неї матриця А^-1 також невироджена. Справді, з рівності АА^-1=Е і теореми про множення визначників випливає, що

; тому матриця А^-1також невироджена. Оберненою до матриці А^-1, очевидно, є матриця А.

Приклади

1. Для матриці A знайти обернену матрицю.

Рішення. Знаходимо спочатку детермінант матриці А:

Це означає, що обернена матриця існує і ми її можемо знайти по формулі

, де А_i_j (i,j=1,2,3) - алгебраїчні доповнення до елементів а_i_j початкової матриці.