Структура аффинного пространства над телом (стр. 11 из 19)

Лемма. Пусть

левое векторное пространство над телом а произвольное множество. Тогда множество отображений в есть левое векторное пространство над по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:

и

В силу доказанного искомое векторное пространство

будет ВПП в , порожденным отображениями Поэтому мы начнем с изучения этого пространства

Предложение 6.1. Пусть

- векторное подпространство в , порожденное функциями пуст, далее, элемент из . Тогда

А). Сумма

зависит только от функции и притом линейно, т.е. является линейным отображением в которое мы обозначим

Б). Если

то существует единственная точка , такая, что .

В). Если

то постоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек

, такие, что но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары выполнено соотношение

, (1)

которое доказывает существование и линейность функции

Б). Если

выберем в произвольную точку Соотношение (1) показывает, что в существует единственная точка такая, что она определяется условием Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой Таким образом, барицентр семейства зависит только от функции

В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).

Следствие.

является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида

Предложение 6.2. Пусть

отображение и пусть отображение в которое любому вектору ставит в соответствие постоянную функцию, равную на .

Тогда

аффинно с линейной частью и потому инъективно; при этом есть аффинная гиперплоскость в с уравнением

Доказательство. Для любой пары

разность есть постоянная функция ; положим . Таким образом, аффинно, и инъективно, как и

С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции

суть элементы удовлетворяющие условию .

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству

, ассоциированному с векторным -пространством , можно канонически присоединить:

· Векторное пространство

изоморфное ,

· Ненулевую линейную форму

на ,

· Аффинную инъекцию

, такую, что - аффинная гиперплоскость в с уравнением

Доказательство. Остается только установить изоморфизм между

и . Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка , отображение , линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки .

Заметим, что аффинная гиперплоскость

имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость постоянных функций, которая отождествляется с .