Структура аффинного пространства над телом (стр. 12 из 19)

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве

можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству , но это связано с утомительными выкладками.

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение

единственным образом определяемое заданием .

Обозначения. Векторное пространство

, построенное таким образом, называется векторным продолжением и обозначается .

Если

имеет размерность то размерность равна . Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

Вернемся к обозначениям §6. Инъекция

позволяет нам отождествить с аффинной гиперплоскостью в , в то время как ее линейная часть позволяет отождествить с векторной гиперплоскостью

Предложение 7.1. Пусть

конченое семейство взвешенных точек , где точки отождествлены с элементами . Для того, чтобы элемент из принадлежал (соотв. ), необходимо и достаточно, чтобы (соотв. ).

Доказательство. Это вытекает из соотношения

Правило. Отождествление

с подмножеством в позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации элементов . Но такая комбинация представляет элемент из только тогда, когда ( этот элемент будет барицентром системы ); если же то представляет элемент из равный для любой точки .

Приложения. 1). Для того, чтобы три точки

из были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры такие, что

и (1)

Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению

; они интересны своей симметричной формой относительно и возможностью складывать подобные соотношения.

2). Если

то барицентром системы является точка пересечения с векторной прямой с направляющей в .

3). Для того чтобы семейство

точек из было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве

В частности, аффинный репер

является базисом содержащимся в

Векторная интерпретация аффинных отображений.

Мы начнем с установления одного общего результата, независимого от теории векторных продолжений

Предложение 7.2. Пусть

, - два векторных пространства над одним и тем же телом и (соответственно ) – аффинная гиперплоскость в (соотв. ), не проходящая через начало; обозначим (соответственно ) векторную гиперплоскость, параллельную (соответственно ).

А) Если

- линейное отображение, такое, что , то ограничение на есть аффинное отображение в , линейная часть которого есть ограничение на .

Б) обратно, если

- аффинное отображение, то существует единственное линейное отображение , ограничения которого на совпадает с .