Структура аффинного пространства над телом (стр. 19 из 19)

Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.

Этот результат особенно интересен в случае, когда тела

и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .

Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение

на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).

Так же и в случае

условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.

Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.

Например,

, есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в некоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).