Структура аффинного пространства над телом (стр. 3 из 19)

b) для любых точек

из ℰ выполнено соотношение Шаля

.

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки

ℰ мы имеем .

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через

единственную точку , такую, что , и заметив, что соотношение Шаля равносильно . Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки

ℰ отображение ℰ, есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ℰ векторную структуру

.

Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ℰ будет называться векторной структурой с началом

; множество ℰ с этой структурой будет обозначаться ℰ_A.

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ- это те свойства векторного пространства ℰ_A, которые не зависят от выбора точки

.

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством

. По определению, размерность ℰ равна размерности .

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности

, ассоциированную с нулевым векторным пространством.

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством

. Каждое векторное подпространство пространства образует подгруппу группы , действующую на ℰ трансляциями. По определению, орбиты действия на ℰ называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением . Группа , действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с ; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ℰ.

Если

есть ЛАМ с направляющим подпространством и - точка , то допускает структуру векторного пространства с началом и есть векторное подпространство в ℰ_A. Обратно, любое ВПП пространства ℰ_A есть ЛАМ, проходящее через ; сформулируем

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ℰ, проходящие через точку

, суть векторные подпространства векторного пространства ℰ_A.

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ

пространства ℰ полностью определяется заданием множества точек .

Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:

Определение 3.1. Непустое подмножество

аффинного пространства ℰ называется линейным аффинным многообразием, если в существует точка , такая, что является векторным подпространством в .

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

Предложение 3.2. Пусть

- непустое подмножество в ℰ и - точка , такая, что есть векторное подпространство в . Тогда для любой точки из множество совпадает с .

Доказательство.

есть множество векторов , где ; таким образом, есть образ при биекции , , и поскольку , то .

Установив это, легко убедиться, что

наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством , которое не зависит от точки .

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры

, можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием на : ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:

Определение 3.2. Пусть

- векторное подпространство в и - отношение эквивалентности, определяемое на ℰ с помощью