Статическое моделирование систем (стр. 5 из 12)
где k=1..K – номер интервала,
uk – точки, лежащие на границе интервала,
Статистика критерия Пирсона
.Табличное значение статистики при уровне значимости α=0.01 и количестве степеней свободы ν=9 вычисляется с помощью встроенной функции Mathcad (2.28):
, 
(2.28)Очевидно, что
. Это значит, что гипотеза о нормальном распределении случайной величины принимается.Таким образом, в данной главе была построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, найдены математическое ожидание
, дисперсия 
.Построен доверительный интервал для математического ожидания. Его границы
и 
.Теоретическое математическое ожидание
попадает в доверительный интервал.Построен доверительный интервал для дисперсии. Его границы
и 
.Теоретическое значение дисперсии
попадает в доверительный интервал.Найдена статистика Пирсона
. Произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной 
.Полный текст программы данного раздела см. в «Приложении 2».
3. Оценка статистических характеристик случайного процесса
Исходные данные:
Объект управления – матрица
Параметры управления
По этим данным необходимо вывести реализацию случайной величины – функцию, значение которой при каждом данном значении аргумента является случайной величиной. Для этого необходимо подобрать коэффициенты регулятора P1 и P2, сгенерировать ошибки измерений и помехи внутри объекта управления, пересчитать ошибки измерений и помехи внутри объекта управления в главную систему координат и проинтегрировать систему дифференциальных уравнений n раз на отрезке [0,T].
Коэффициенты были подобраны с помощью отдельной программы АКОР.
Законы генерирования ошибок измерений и помех внутри объекта управления заданы: ошибки измерений в обоих каналах СУ и помехи в первом канале отсутствуют, помехи во втором канале распределены по равномерному закону (3.1):
, (3.1)где А – подобранное число
Чтобы пересчитать помехи внутри объекта управления в главную систему координат, необходимо сначала преобразовать матрицу В к виду B+mp:
,где Bi.j – значения исходной матрицы, m1, m2 – параметры управления, P1, P2 – коэффициенты регулятора
Далее определим собственные значения изменённой матрицы с помощью специальной программы пакета Mathcad (3.2):
, (3.2) 
Действительные части собственных значений изменённой матрицы получились отрицательными, значит, согласно условиям устойчивости работы системы, система работает устойчиво.
Определим собственные вектора изменённой матрицы (3.3-3.4):
, (3.3) 
, (3.4) 
Для проверки можно найти матрицу D=V*BB*V-1, она должна быть диагональной и на главной диагонали должны находиться собственные значения изменённой матрицы.
Условие проверки выполнилось.
Все необходимые вычисления для пересчёта в главную систему координат помех и ошибок выполнены.
Формулы пересчёта ошибок измерений в главную систему координат выглядят следующим образом:
, 
где ε1, ε2 – промежуточные переменные,
P1, P2 – коэффициенты регулятора
m1, m2 – параметры управления
w1, w2 – изначальные ошибки измерений
VO=V-1 – обратная матрица собственных векторов матрицы ВВ
W1, W2 – ошибки измерений, пересчитанные в главную систему координат
Формулы пересчёта помех в главную систему координат выглядят следующим образом:
где g1, g2 – изначальные помехи внутри объекта
G1, G2 – помехи, пересчитанные в главную систему координат
Формулы пересчета начальных условий в главную систему координат выглядят следующим образом:
где y1, y2 – изначальные начальные условия, yy1, yy2 – начальные условия, пересчитанные в главную систему координат
После записи системы в главных координатах численный метод интегрирования второго порядка точности можно представить в виде двух параллельных циклов вычислений:
, 
,где Di,j – значения диагональной матрицы D
h=T/n – шаг интегрирования
T – время, при котором процесс становится установившимся
n – количество реализаций случайного процесса
W1, W2, G1, G2, yy1, yy2 – определены выше
Далее необходимо пересчитать получившуюся проинтегрированную функцию обратно в исходную систему координат:
, 
,Значения переменных состояния в конечной точке n:
, 
, 
Реализации случайного процесса y1k,j и y2k,j можно отобразить с помощью графиков (см. График 3-4).
График 3 – Реализация первой переменной случайного процесса
График 4 – Реализация второй переменной случайного процесса
3.1 Определение статистических характеристик системы управления в момент времени 
В момент времени
оцениваются следующие статистические характеристики:1) математические ожидания переменных состояния;
2) дисперсии переменных состояния;
3) корреляционный момент;
4) нормированный корреляционный момент (коэффициент корреляции)
Математическим ожиданием случайного процесса называется такая функция, значение которой при каждом данном значении аргумента равно математическому ожиданию значения этой функции при этом аргументе. Математическое ожидание случайного процесса представляет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайного процесса.
Для полученных процессов математическое ожидание находится по следующим формулам (3.5-3.6):
, 
, (3.5-3.6)где Xmean, Ymean являются математическим ожиданием.
Дисперсией случайного процесса называется такая функция, значение которой при каждом данном значении аргумента равно дисперсии значения этой функции при этом аргументе.