Решение задачи линейного программирования
.
Рассмотрим задачу линейного программирования
(1)Теорема. Если множество
планов задачи (1) не пусто и целевая функция 
сверху ограничена на этом множестве, то задача (1) имеет решение.Теорема. Если множество
допустимых планов имеет крайние точки и задача (1) имеет решение, то среди крайних точек найдется оптимальная.Метод исключения Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений.
Большинство из существующих численных методов решения задач линейного программирования использует идею приведения системы линейных уравнений
которая в матричной форме записывается в виде
, к более удобному виду с помощью так называемого метода Жордада-Гаусса.В первом уравнении системы отыскивается коэффициент
, отличный от нуля. С помощью этого коэффициента обращаются в нуль коэффициенты при переменной 
в остальных уравнениях системы. Для этого первое уравнение умножается на число 
и прибавляется к уравнению с номером 
, 
. Затем первое уравнение делится на число . Это преобразование называется элементарным преобразованием. Полученная эквивалентная система обладает тем свойством, что переменная присутствует только в первом уравнении, и притом с коэффициентом 1. Переменная называется базисной переменной.Аналогичная операция совершается поочередно с каждым уравнением системы; при этом всякий раз преобразуются все уравнения и выполняется список базисных переменных.
Результатом применения метода Жордада-Гаусса является следующее: либо устанавливается, что система несовместна, либо выявляются и отбрасываются все «лишние» уравнения; при этом итоговая система уравнений имеет вид
, 
,где
— список номеров базисных переменных, 
— множество номеров небазисных переменных. Здесь 
— ранг матрицы 
коэффициентов исходной системы уравнений.Полученную системы уравнений называют приведенной системой, соответствующей множеству
номеров базисных переменных.Симплекс-метод.
Симплекс –метод, метод последовательного улучшения плана, является в настоящее время основным методом решения задач ЛП.
Рассмотрим каноническую задачу ЛП
(2)где векторы
, матрица 
и 
. Множество планов в задаче (2) будем обозначать через и будем предполагать, что все угловые точки 
являются невырожденными. 
, где вектор 
определяется формулой 
.Теорема. Если в угловой точке
выполняется условие 
, то — решение задачи (2).Теорема. Для того, чтобы угловая точка
являлась решением задачи (2), необходимо и достаточно, чтобы в ней выполнялось условие .Алгоритм симплекс-метода.
Переход из старой угловой точки
в новую угловую точку 
состоит, в сущности, лишь в изменении базисной матрицы 
, в которую вместо вектора 
вводится вектор 
. Новая базисная матрица может быть теперь использована для вычисления базисных компонентов вектора . Таким образом, алгоритм симплекс-метода может быть представлен в следующей форме.Шаг 0. Задать целевой вектор
, матрицу условий , вектор ограничений 
и множество базисных индексов 
. Сформировать базисную матрицу 
и вектор 
.Шаг 1. Вычислить матрицу
и вектор 
.Шаг 2. Вычислить вектор потенциалов
и оценки 
.Шаг 3. Если
для всех 
, то остановиться: вектор 
— базисный вектор оптимального плана; иначе перейти на шаг 4.Шаг 4. Выбрать произвольный индекс
и вычислить вектор 
.Шаг 5. Если
, то остановиться: 
; иначе перейти на шаг 6.Шаг 6. Сформировать множество индексов
и вычислить 
.Шаг 7. В множестве
индекс 
заменить на индекс 
, в матрице 
— вектор 
— на вектор , в векторе 
— компоненту 
на 
. Перейти на шаг 1.