Смекни!
smekni.com

Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 10 из 11)

Так как функция

) представляется быстро сходящимися рядами, то формулы (74) и (75) можно с успехом использовать для приближенного решения соответствующих граничных задач.

Следствие 3. Если в формулах (70) и (71)

- задана нормальная (касательная) производная, то мы получим две интегральные формулы Дини-Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для заданных рассмотренных областей.

В случае единичного круга

эта формула имеет вид[1, 9]:

, (84)

где действительная функция

при
, под
понимается дифференцирование по направлению внутренней нормали, а с – произвольная постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что

. (85)

Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости рассматриваемой граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная аналитическая функция определяется с точностью до произвольного комплексного постоянного слагаемого.

А из (76) следуют формулы Дини:

,

.

В случае кругового кольца

, имеем

, (87)
где
,

,
.

Формула (80) – формула Дини-Шварца или интегральная формула Дини-Шварца для кругового кольца.

Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые части, то мы получим непосредственное обобщение интегральной формулы Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для кругового кольца:

,

,

где

,
,
.

Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца.

Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини для любых (

) связных (конечных и бесконечных) областей, используя формулы (70) и (71).

§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле

для конечных трехсвязных областей.

Формула Чизотти для многосвязных круговых областей дает выражение функции, реализующей конформное отображение области
ограниченной окружностями
, (
,
0, 1, 2 и
) на многосвязную область
плоскости
, ограниченную гладкими кривыми
.

Если в каждой точке

, где
, контура
области
плоскости
известен угол наклона
касательной к
, где
,
- внешняя,
- внутренние,
,
.

Построим функцию

дающую конформное отображение области
на
, где
. тогда
голоморфна в
и действительная часть голоморфной функции
равна
на окружности
, т.е.

,
, (90)

где

- угол наклона касательной к
в точках
соответствующих при отображении функцией
.

Из существования отображающей функции следует, что функция

в области
согласно (82) можно представить по формуле Шварца для многосвязных областей. Функция
регулярна и однозначна в области
и ее действительная часть на
принимает непрерывные значения
. Тогда с помощью формулы Шварца, с учетом (82) функция
принимает вид:

, (91)

где

,
,
,
- заданная плотность по граничному условию (81),
- ядро, определяемое следующими формулами:

, где: