Так как функция
) представляется быстро сходящимися рядами, то формулы (74) и (75) можно с успехом использовать для приближенного решения соответствующих граничных задач.
Следствие 3. Если в формулах (70) и (71)
- задана нормальная (касательная) производная, то мы получим две интегральные формулы Дини-Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для заданных рассмотренных областей.
В случае единичного круга
эта формула имеет вид[1, 9]:
,
(84)где действительная функция
при
, под
понимается дифференцирование по направлению внутренней нормали, а
с – произвольная постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что
.
(85)Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости рассматриваемой граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная аналитическая функция определяется с точностью до произвольного комплексного постоянного слагаемого.
А из (76) следуют формулы Дини:
, .В случае кругового кольца
, имеем , (87) где , , .Формула (80) – формула Дини-Шварца или интегральная формула Дини-Шварца для кругового кольца.
Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые части, то мы получим непосредственное обобщение интегральной формулы Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для кругового кольца:
, ,где
, , .Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца.
Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини для любых (
) связных (конечных и бесконечных) областей, используя формулы (70) и (71).§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле
для конечных трехсвязных областей.
Формула Чизотти для многосвязных круговых областей дает выражение функции, реализующей конформное отображение области ограниченной окружностями , ( , 0, 1, 2 и ) на многосвязную область плоскости , ограниченную гладкими кривыми .Если в каждой точке
, где , контура области плоскости известен угол наклона касательной к , где , - внешняя, - внутренние, , .Построим функцию
дающую конформное отображение области на , где . тогда голоморфна в и действительная часть голоморфной функции равна на окружности , т.е. , , (90)где
- угол наклона касательной к в точках соответствующих при отображении функцией .Из существования отображающей функции следует, что функция
в области согласно (82) можно представить по формуле Шварца для многосвязных областей. Функция регулярна и однозначна в области и ее действительная часть на принимает непрерывные значения . Тогда с помощью формулы Шварца, с учетом (82) функция принимает вид: , (91)где
, , , - заданная плотность по граничному условию (81), - ядро, определяемое следующими формулами: , где: