б) Обобщенная задача Дирихле.
В приложениях условие непрерывности граничных значений
, является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле [1]:На границе
области D задана функция , непрерывная всюду, кроме конечного числа точек , где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z), принимающую значения u(z) = во всех точках непрерывности этой функции.Если заданная функция непрерывна, то обобщенная задача Дирихле совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из условия ее непрерывности в
.Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
В данной области при заданной граничной функции существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи Дирихле.
Можно доказать, что:
1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции решение обобщенной задачи Дирихле существует.
2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом Пуассона
, , ) (2)3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:
, (3)где
- производная в направлении внутренней нормали к С,ds - элемент длины
, соответствующей , - элемент внутренней нормали к , - фиксированная произвольная точка области D, а функция ; , реализующая отображение D на единичный круг и - функция Грина для области D, гармоническую всюду в D кроме точки , где имеет плюс.Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно.
Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.
в) Видоизмененная задача Дирихле.
Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими контурами
, из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность этих контуров , ( ). Через - мы обозначим совокупность конечных областей заключенных, соответственно, внутри контуров и бесконечной области , состоящей из точек расположенных вне . На контуры мы наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].Функция
удовлетворяет условию Hна этом множестве, если для любых двух переменной на этом множестве , (4)где Aи
- положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а - показатель условия Н и при =1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].
Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в
, по граничному условиюu=f(t) на L, (5)
где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.
Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга
в ряд. , )абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса
поэтому u→ при r→ .Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].
Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле
для многосвязных областей.
Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в
, по следующим условиям:1. u(x,y)= Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S+;
2. она удовлетворяет граничному условию
u=f(t)+ (t) на L, (6)
где f(t) – заданная на
непрерывная функция , , (7)где
постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+ на заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.Можно показать, что постоянные
вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.