Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два случая:
а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости, ограниченную контуром
;б) р=1, а контур
отсутствует. Тогда область S+ представляет собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром .Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать
=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если
=0).д) Общая формулировка задачи Дирихле.
Задача Дирихле – задача отыскания регулярной вобласти D гармонической функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед заданной функцией
. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на границе области, также называется задачей Дирихле, или первой краевой задачей.Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой
, (8)где
- производная по направлению внутренней нормали в точке функции Грина , характеризуемой следующими свойствами:1.
, при 3 или , при 2,где
- расстояние между точками и , - площадь единичной сферы в , - регулярная в гармоническая функция как относительно координат , так и относительно координат ;2.
, когда , .Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название формул Пуассона.
Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала – теории гармонических функций.
Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона
, (9)являющейся обобщением формулы (8). Здесь
- гармоническая мера множества в точке . Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных функций , при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме.Например, если
- область с достаточно гладкой границей Г, а граничащая функция имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности , для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения.е) Задача Неймана.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
Найти гармоническую в области
функцию , зная значения ее нормальной производной на границе С: (10)и значение
в какой-либо точке в области .Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с осью х. Функция
может иметь на конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными.Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической функции:
Если функция
гармонична в односвязной области и непрерывна вместе со своими частными производными в , то , (11)где
- граница области обозначает производную в направлении нормали к , а - дифференциал дуги.Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнения соотношения
. (12)Доказывается единственность решения задачи Неймана и при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область
представляет собой полуплоскость ( z, > 0).В дополнительном предположении непрерывности частных производных в
решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.Две гармонические в области
функции и , связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.Как мы знаем, для всякой функции
гармонической в односвязной области , можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию . Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций сопряженных с дает формула: , (13)где С – произвольная действительная постоянная.
Заметим, что в многосвязной области
интеграл (13) по контуру , определяет, вообще говоря, многозначную функцию: