Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 4 из 11)

, (14)

где

- произвольные целые числа, а - интегралы вдоль замкнутых контуров , каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы :

. (15)

Постоянные

называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.

Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции

, где , носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.

Функции

и , представляющие собой регулярные решения системы Коши-Римана [6]:

, (16)

имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции

являются решением уравнения . (17)

Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции

.

§2. О задачах Шварца-Пуассона.

а) Интеграл Шварца для круга

Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат, дающий выражение функции , регулярной в области, через значения на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса , известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:

, (, ) (18)

Полагая здесь

, мы найдем для чисто вещественное значение , для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.

Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части произвольное мнимое число

:

, . (19)

Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная

часть даст нам интеграл Пуассона для

и мнимая же часть доставляет выражение через .

Для единичного круга

, имеет вид:

, (20)

где

, - представляет значение вещественной части искомой функции в точке .

б) Интегральная формула Пуассона.

Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом Пуассона:

, (21)

где

- полярные координаты точки, где ищется значение решения; - радиус окружности и - функция полярного угла , дающая граничные значения [9].