При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования не , а угол , который образует прямая с перпендикуляром к оси , опущенным из точки , имеем: , и окончательно имеем:
. (28)д) Задача Дирихле для кругового кольца.
Граничные значения гармонической функции
на окружности кольца мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла и обозначим их соответственно через и .Сопряженная с
гармоническая функция будет вообще говоря, не однозначной, и фкп будет состоять из двух слагаемых: однозначной составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм с вещественным коэффициентом: , . (29)Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная формула Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
для кругового кольца (1912).
Пусть в плоскости комплексного переменного
дано круговое кольцо , ограниченное окружностями , ,где заданное положительное число
<1.Требуется найти регулярную и однозначную внутри области
функцию , если известны значения ее вещественной части на границах кольца.Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1)
, ( , ),где с – действительная переменная.
Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности определяется аргументом
этой точки, так что представляет значение вещественной части искомой функции в точке .Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы, аналогичной формуле (1).
Обозначим через
и значения вещественной части искомой функции в точках с аргументом на внешней, соответственно внутренней, границе .Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле переход от односвязной области к двусвязной.
Величина
,где интеграл справа берется по окружности радиуса
( ) с центром в точке , очевидно, не зависит от . Тем же свойством обладает и вещественная часть написанного интеграла.Отсюда, приближая вначале
к 1, а замечая, что в интеграле можно сделать требуемые предельные переходы, получим:
. (30)Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.
Искомая функция
может быть разложена в ряд Лорана . (31)Мы найдем разложения обеих функций
, в ряды Фурье. Из этих разложений получаются коэффициенты в виде некоторых интегралов и подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового кольца в форме Н.И.Ахиезера [7]. , (32)где с – произвольная вещественная константа,
- произвольное положительное число, а чисто мнимое число находится с помощью равенства , (33) , и, наконец - функция Вейерштрасса.