Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в монографии Н.Ахиезера [7].
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).
Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].
,
(34)где из (33) следует, что
, где
- положительное действительное число, можно придать более компактную форму, если несколько преобразуем (32), учитывая (33) и замечая, что
можно выразить через
с учетом граничных свойств:
,
,
;
(35) ,
.
Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет следующий окончательный вид:
,
(36)где с – постоянная.
Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.
б) Функции Вейерштрасса.
В виду важности трех функций Вейерштрасса
,
и
для практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:
1.
(37)или
(38) 2.
,
:
,
(39) ,
для действительных нулей полинома возможны следующие частные случаи: : , , . 3. , ,где
, , . 4.
(41)где
; ; ; . 5.
, т.е. , (44)где (
), , (45)или
6.
(46) – эллиптическая функция Вейерштрасса .Функция Вейерштрасса
, (48)так что
.Функция Вейерштрасса
определяется с помощью равенства .Из этой формулы следует и
где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов, отличную от точки
.§4. О некоторых применениях теории конформного
отображения к краевым задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ давно служит:
– как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева, гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами;
– для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического продолжения;
– несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории аналитических функций и сингулярных уравнений;
– исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца, Чизотти и т.п.)
Обширный класс интегральных представлений аналитических функций, используемых для получения и исследования аналитических решений дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой:
(49)где
- ядро типа Шварца, зависящее от связности данной области, - аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) – связной канонической круговой области , - заданная плотность – вещественная функция в точках , контура круговой области .Вещественные
и комплексные таковы, что :