Смекни!
smekni.com

Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 7 из 11)

,
, (
,
). (50)

По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей

плоскости
, ограниченную замкнутыми кривыми
типа Ляпунова. (Существует касательная в каждой точке
,
,
,
- угол между касательными; кривая замкнута и ограничена).

Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи Дирихле для области

и интегральные формулы Пуассона для
:

(51)

. (52)

Из (52) получим:

;

.

где

,
,

,

,
,
,
[4];

В случае круга:

,

.

Круговое кольцо:
;

,

где

- функция Вейерштрасса,
,
,
,
- некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций
,
,
- периоды функции
.

Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей

, или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических областей
.

б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти

для многосвязных областей

Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема.

Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей.

1. Построим функцию

, дающую конформное отображение
на
, где
,
; (
):

, (57)

где

и
- постоянные,
определяется однозначно по формуле Шварца для соответствующих заданных областей.

Пусть

- регулярная функция в
. Так как подинтегральное выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде:

, то

(58)

С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:

;

.

где

и
- постоянные (к=1,2).

Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти для конечных многосвязных круговых областей.

Если найден

и
от известного интегрального выражения
):

, т.е.

; (60)

,

то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных, бесконечных) областей

.

2. Если область

- концентрическое круговое кольцо, то

, (61)

где

- заданная функция
- функция Вейерштрасса, то мы имеем интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.