,
, (
,
).
(50)По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей
плоскости
, ограниченную замкнутыми кривыми
типа Ляпунова. (Существует касательная в каждой точке
,
,
,
- угол между касательными; кривая замкнута и ограничена).
Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи Дирихле для области
и интегральные формулы Пуассона для
:
(51)
. (52) Из (52) получим:
; . где , , , , , , [4];В случае круга:
, . Круговое кольцо: ; ,где
- функция Вейерштрасса, , , , - некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций , , - периоды функции .Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей
, или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических областей .б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти
для многосвязных областей
Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема.
Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей.
1. Построим функцию
, дающую конформное отображение на , где , ; ( ): , (57)где
и - постоянные, определяется однозначно по формуле Шварца для соответствующих заданных областей.Пусть
- регулярная функция в . Так как подинтегральное выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде: , то (58) С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:
; .где
и - постоянные (к=1,2).Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти для конечных многосвязных круговых областей.
Если найден
и от известного интегрального выражения ): , т.е. ; (60) ,то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных, бесконечных) областей
.2. Если область
- концентрическое круговое кольцо, то , (61)где
- заданная функция - функция Вейерштрасса, то мы имеем интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.