Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 8 из 11)
Из (61) получим:
, (62) 
, (63)где
, 
, 
, 
.Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона. Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение
задачи Дирихле для соответствующих областей.
Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей
, дающие аналитической в функции 
через нормальной производной ее действительной части на границе 
области и интегральные представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение функции 
, реализующей конформное отображение области на ограниченную гладкой кривой (51), (52), то поэтому интегральную формулу, дающую конформное отображение на 
через нормальную (касательную) производную ее действительной (мнимой) части 
на границе , естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных областей.Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных областей и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.
Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной гармонической функции.
Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области
на каноническую область 
и задача Дирихле для той же области эквивалентны (49), используем интегральный метод Чизотти для соответствующих областей (50), (51).Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в
, найдем решение задачи Дирихле, как представляющее однозначную и аналитическую (гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию 
(64)удовлетворяющую в
уравнению 
(65)и граничному условию
, 
, (66)где
.Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей
имеет следующий вид: 
(67)или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):
; 
, (68)где
и 
постоянные, определяемые нормировкой функции , - угол наклона касательной 
в точке 
, соответствующей при отображении .Пусть теперь
- каноническая область (круг, концентрическое круговое кольцо, внешность двух кругов, …), а - соответствующая область, ограниченная контуром .Построим функцию
, дающую конформное отображение на . Причем будем для простоты считать, что 
, 
.В силу конформности отображения
всюду в функция равна 
; 
на (69) 
, Следовательно, функцию
можно представить следующими интегральными формулами типа Шварца: 
, 
, ( 
); 
, , ( 
; (70) 
, 
,где
- ядро Шварца для круга; 
- функция Вейерштрасса; 
- ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового кольца; 
- ядро для внешности двух окружностей; 
- ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для решения задачи типа Дирихле для рассмотренных областей
.Для нахождения гармонической
(или 
) в произвольной односвязной области функций, достаточно знать 
или 
обычные классические интегральные формулы Пуассона для круга : 
или
.2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной ограниченной (конечной) области
через - решение кругового кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е. и - интегральные формулы Пуассона для кругового кольца ( ):