, 
.Таким образом, аналогичными примерами можно найти и для остальных рассмотренных областей решения задачи Дирихле (
) через 
и 
.§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле
для заданных областей.
Пусть
, 
, 
- нормированная функция дает конформное отображение канонической области 
плоскости 
на соответствующую область 
плоскости 
. Простоты ради будем считать, что 
.В силу конформности отображения
мы имеем, что 
всюду в и, как легко видеть реальная (действительная) часть голоморфной в функции 
равна 
на окружностях 
: 
, (72)где
при 
, ( 
), (73)
, 
- угол наклонакасательной к 
в точках 
, соответствующих при отображении 
. Область ограничена гладкими кривыми типа Ляпунова 
, а в каждой точке 
контура области плоскости известен угол наклона .Здесь вещественные числа
и комплексные числа 
, таковы для конечной 
- связной области, что 
, 
, ( 
, 
). (74)При этом будем считать, что
- внешняя, а 
- внутренние кривые, и будем считать, что 
, 
[5].
Из существования отображающей функции 
следует, что функция 
регулярная, однозначная и эффективная в канонической области 
согласно равенству (64), представляется по интегральной формуле Шварца [5] в форме Александрова-Сорокина в следующем виде: 
. (75)Функция
регулярна и действительные части на граничных компонентах 
принимают непрерывные значения 
, определяемые равенством (65), а 
- ядро определяется следующими формулами [5]: 
, (76) 
, (77) 
1, при 
-1, при
, с – вещественное число.Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим две интегральные формулы Пуассона для
- связных круговых областей 
; что мы и делаем, следуя вычислениям Александрова-Сорокина [5], т.е. решаем задачу Дирихле-Пуассона: об определении значений гармонической функции внутри канонической области , если известны ее значения на границах 
, 
- функция полярного аргумента, дающая граничные значения 
. 
, (78) 
, (79)где
, 
, 
.Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для
.Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить
, то мы получим формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [ ]: 
, ( 
) (80) , ( 
) (81)Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить
, то мы получим две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца: 
, (82) 
, (83)где (74) и (75) – реальные и мнимые части компактной интегральной формулы Вилля-Шварца для кругового кольца [2],
- функция Вейерштрасса, - угол наклона касательной к 
в точке , , 
- периоды, с – произвольная постоянная, 
( 
).
