Пространства Соболева (стр. 2 из 4)
(1.4) 
(1.5)и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придём к формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённом смысле, а интеграл – в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое
то есть вместо идеальных элементов 
воспользоваться их гладкими приближениями 
1.3 Другое определение обобщённой производной
Пусть
– множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке 
финитных функций 
Если теперь 
непрерывно дифференцируема на отрезке 
то для произвольной функции 
справедливо следующее интегральное тождество: 
(1.6)проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством
полностью определяется.Допустим, что, кроме того, для любых
и некоторой непрерывной на отрезке функции 
(1.7)Вычитая эти тождества, получим, что для любых
Отсюда, вследствие плотности
в 
на отрезке 
Оказывается, интегральное тождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Прежде всего, справедлива следующая лемма.Лемма 1. Если 
то для любых 
справедливо тождество (1.6).
Доказательство. Пусть
тогда для всех имеем (1.6): 
Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при
В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции 
Лемма доказана.Лемма 2. Пусть даны 
такие, что для всех 
справедливо тождество (1.7). Тогда 
(обобщённая производная).
Доказательство. Пусть
а 
Тогда 
при 
для любого
Пусть
– класс, представителем которого является 
Тогда
для любых Отсюда 
Лемма доказана.1.4 Простейшая теорема вложения
Теорема 1. 
вложено в 
Доказательство. Пусть
непрерывно дифференцируема на отрезке Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности 
найдётся точка 
такая, что 
Поэтому на отрезке справедливо следующее тождество: 
С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем
где
Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке функции справедливо неравенство 
(1.8)Пусть теперь последовательность
– фундаментальная по норме 
Тогда 
при
Следовательно, 
фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к 
Тем более 
в среднем. Таким образом, в классе из 
содержащим в качестве представителя, содержится непрерывная функция и, значит, этот класс можно отождествить с 
Отождествим элементы с непрерывными функциями. Пусть 
Переходя в неравенстве 
к пределу при 
придём к неравенству (1.8).Итак, вложение
в 
доказано. Доказательство теоремы закончено. 1.5 Пространства Соболева 
и 
Пусть
– односвязная область с достаточно гладкой границей 
В замкнутой области 
рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций 
со скалярным произведением