Пространства Соболева (стр. 3 из 4)
При этом
(1.9)Полученное пространство со скалярным произведением обозначается
а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева 
Пусть
– фундаментальная последовательность в 
то есть 
при 
Отсюда следует, что в 
будут фундаментальными последовательности 
Вследствие полноты
в имеются элементы, которые мы обозначим 
так что при
в среднем 
Элементы
называются обобщёнными частными производными элемента 
Скалярное произведение и норма задаются в
теми же формулами, что и в в которых теперь производные обобщённые, а интегрирование понимается в смысле Лебега. Введем в рассмотрение пространство 
Это пространство является пополнением в норме
(1.10)линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на
и таких, что 
является гильбертовым пространством со скалярным произведением 
Лемма 3. Если 
а 
то
Доказательство. Достаточно доказать первую из этих формул. Она справедлива, если
а 
Пусть 
– фундаментальная в 
последовательность, предел которой – элемент 
Переходя в тождестве 
к пределу при 
получим для любой Действительно, из сходимости в 
следует, что
то есть непрерывность скалярного произведения.Пусть теперь
– фундаментальная последовательность в 
Перейдём к пределу в тождестве 
и получим исходное тождество.Следствие. содержится строго внутри
Действительно, функция
Но 
иначе мы имели бы 
то есть 
для любой Возьмём 
и получим противоречие.Теорема 2 (Фридрихс). Существует постоянная 
такая, что для любых
Доказательство. По самому определению
всякий элемент из принадлежит 
Пусть 
и сходится в к Построим куб
содержащий область 
Функции 
доопределим нулём в 
Частная производная 
существует всюду в 
за исключением, быть может, тех точек, в которых прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает границу 
области 
Для любой точки 
имеем 
По неравенству Коши-Буняковского
Интегрируя полученное неравенство по
находим 
Так как
вне 
то 
Переходя к пределу при
приходим к доказываемому неравенству Фридрихса.Следствие 1. Пространство вложено в
Это предложение непосредственно вытекает из определения вложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.
Следствие 2. В нормы (1.9) и (1.10) эквивалентны.
Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем
2. Применение пространств Соболева в математической физике
2.1 Доказательство существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа
Теорема 3 (Рисс). Пусть 
– гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала 
заданного всюду на 
существует единственный элемент 
такой, что для всех 
