Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа (стр. 1 из 2)
Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа
Сабитов К.Б., Бибакова С.Л.
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение:
(1)где
l - комплексный параметр, в области D, ограниченный при 
кривой 
с концами в точках B (1, 0) и K (0, 1/4), лежащей в первом квадранте, отрезком AK оси OY, где A=(0, 0), и характеристиками AC ( 
) и CB ( 
) уравнения (1) при 
.Пусть
Задача Tl. Найти значения параметра
и соответствующие им функции 
, удовлетворяющие условиям: 
(2) 
(3) 
(4) 
(5)где
при 
при 
Выбор значения k таковым объясняется тем, что для уравнения (1) при
доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Трикоми [1].Спектральные задачи для оператора Лаврентьева-Бицадзе были рассмотрены в работах [2-4].
В работах [5-8] изучены спектральные задачи для уравнения (1) с условиями Дирихле. В [5] для уравнения (1) в области эллиптичности построены решения первой краевой задачи и смешанной краевой задачи с помощью биортогональных рядов. В работе [6] уравнение (1) рассматривалось в D, где подобласть D+ ограничена отрезком NB оси y=0 , N=(-1, 0) , и дугой NB:
а в работах [7-8] уравнение (1) изучалось в D при 
В данной работе найдены в явном виде собственные значения и соответствующие собственные функции, которые отличаются от результатов [6].
2. Построение частных решений в области эллиптичности. В области D+ перейдем к новым переменным
, 
В координатах 
уравнение (1) примет вид: 
где
.Разделяя переменные
получим: 
(6) 
(7) 
(8) 
(9)Известно [1], что решением уравнения (6) является функция Бесселя
(10)Удовлетворяя (10) краевым условиям (7) и (8), имеем:
(11)Теперь построим общее решение для уравнения (8). Для этого в (8) введем новую переменную
Тогда оно примет вид: 
(12)Уравнение (12) является гипергеометрическим уравнением [9, с. 69], и поскольку a не является целым числом, то общее решение уравнения (8) определяется по формуле
(13)Функция (13) удовлетворяет первому граничному условию из (9). Удовлетворим (13) второму краевому условию из (9).
(14)На основании равенств [10, с. 112]
имеем уравнение для нахождения неизвестного
: 
(15)В силу известных формул
имеем:
где 
Тогда с учетом того, что
и 
равенство (15) примет вид: 
(16)Таким образом, в области D+ найдены частные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевому условию (3):
(17)3. Построение частных решений в области гиперболичности. В уравнение (1) в области D- сделаем замену переменных
Тогда в координатах 
уравнение (1) примет вид: 
Разделив переменные
получим: 
(18) 
(19) 
(20) 
(21)Решением уравнения (18) , удовлетворяющего условиям (19), является функция
(22)Уравнение (20) так же, как и уравнение (12), является гипергеометрическим уравнением с аргументом
. Переходя к аргументу 
, построим его общее решение: 
(23)Если
то функция (23) удовлетворяет граничным условиям (21). Тогда решением уравнения (20), удовлетворяющего условиям (21), будет: 
Таким образом, в области D- найдены частные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничному условию (4):
(24)4. Построение собственных функций задачи Tl. Для нахождения собственных значений и собственных функций задачи Tl , построенную систему функций (17) и (24) удовлетворим условиям склеивания (2) и (5).
Из (17) и (24) вычислим:
Приравнивая функции
получим систему
из которой находим коэффициенты
и 
: 
(25)