Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

Задача №1

Зависимости координат от времени при движении материальной точки в плоскости

и имеют вид:

Определить модуль скорость (

) и ускорение ( ) этой точки в момент времени .

Решение

А. Модуль скорости материальной точки от времени выражается по формуле:

Следовательно,

Б. . Модуль ускорения материальной точки от времени выражается по формуле:

Данные уравнения описывают движение материальной точки с постоянным ускорением

.

Задача №2

Спутник вращается вокруг земли по круговой орбите на высоте

. Определите линейную и угловую скорости спутника. Ускорение свободного падения у поверхности Земли . Радиус Земли

Решение

На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила тяжести

, которая во много раз превосходит силы тяготения, действующие на него со стороны других небесных тел, поэтому по второму закону Ньютона . Здесь — масса спутника, его центростремительное ускорение. По закону всемирного тяготения . Здесь — гравитационная постоянная, — расстояние от спутника до центра Земли, т.е. радиус круговой орбиты спутника ( ), — масса Земли. Центростремительное ускорение спутника связано с линейной скоростью спутника соотношением или . Следовательно, получаем уравнение движения спутника на высоте : или

Эту формулу можно упростить следующим образом. На тело массой

, находящееся на Земле, действует сила тяжести , равная по закону всемирного тяготения силе тяготения этого тела к Земле, поэтому или , откуда .

Таким образом, линейная скорость спутника равна

,

а угловая скорость

Задача №3

Шар массой

движется со скоростью и сталкивается с покоящимся шаром массой и скоростью . Определить скорости шаров и после удара, если он абсолютно упругий, прямой, центральный.

Решение

Рассматриваемые в задаче оба шара образуют замкнутую систему и в случае упругого удара и импульс системы, и механическая (кинетическая) энергия сохраняется. Запишем оба закона сохранения (с учётом неподвижности второго шара до удара):

Таким образом, налетающий (первый) шар в результате удара уменьшил свою скорость с 1,05 м/с до 0,45 м/с, хотя и продолжил движение в прежнем направлении, а ранее неподвижный (второй) шар приобрёл скорость, равную 1,5 м/с и теперь оба шара движутся по одной прямой, и в одном направлении.

Задача №4

Баллон вместимостью

наполнен азотом при температуре . Когда часть газа израсходовалась давление понизилось на . Определить массу израсходованного газа. Процесс считать изотермическим (при постоянной температуре).

Решение

Пусть

— молярная масса азота;

— начальная и конечная масса газа; — расход газа.

— начальное и конечное давление газа в баллоне; — снижение давления газа;

— универсальная газовая постоянная.

Так как масса газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать ни законом Бойля-Мариотта, ни законом Шарля.равнением газа в баллоне меняется, то начальное и конечное состояния газа в баллоне нельзя связывать законом Бойля-Мариотт Нужно для каждого состояния записать уравнение Менделеева-Клапейрона

, тогда

Задача №5

Вычислить плотность азота

, находящегося в баллоне под давлением и имеющего температуру .

Решение

Пусть

— молярная масса азота;

— универсальная газовая постоянная;

— давление газа в баллоне;

— температура газа в баллоне.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для текущего состояния газа (с учётом, что

):

.