Гастон Дарбу, тридцатишестилетний французский математик, профессор Сорбонны и Нормальной школы, запомнил Анри еще со времени сдачи им вступительных экзаменов в эту школу. О диссертации Пуанкаре у него сложилось самое высокое мнение: "С первого же взгляда мне стало ясно, что работа выходит за рамки обычного и с избытком заслуживает того, чтобы ее приняли. Она содержала вполне достаточно результатов, чтобы обеспечить материалом много хороших диссертаций".
С апреля 1879 года выпускник Горной школы Анри Пуанкаре распределен в Везуль простым инженером шахт третьего класса. В его обязанности входит наблюдение, контроль и инспектирование каменноугольных копей. Кроме того, он состоит на службе контроля и эксплуатации железных дорог.
Ранним утром 1 сентября 1879 года, еще до рассвета, произошел взрыв рудничного газа и неизвестна судьба около двух десятков шахтеров, оставшихся под землей. Исполняя свой долг, Пуанкаре спускается вместе со спасательно-поисковой группой в зияющее жерло шахты навстречу полной неизвестности. В последовавшей затем суматохе администрация даже сообщила о гибели инженера Пуанкаре при расследовании обстоятельств аварии. К счастью, это была ошибка. Он благополучно поднялся на поверхность земли, выяснив размеры и причины происшедшей катастрофы. Шестнадцать человеческих жизней – таков итог трагедии, разыгравшейся на многометровой глубине под толщей угольных пластов.
Диссертация давала Анри Пуанкаре право преподавать в высших учебных заведениях. И он не замедлил этим воспользоваться. 1 декабря 1879 года он отбывает в Кан, где был назначен преподавателем курса математического анализа на Факультете наук. Покинув Везуль, он никогда больше не вернется к деятельности горного инженера, но по-прежнему будет числиться по своему ведомству, время от времени получая повышения в звании.
В феврале 1881 года в "Сompres Rendus" (самый авторитетный французский научный журнал) появилась первая заметка Пуанкаре о фуксовых функциях. Это было настоящее научное извержение, как оценили его некоторые математики. За два года Пуанкаре опубликовал серию из 25 заметок и нескольких обширных мемуаров. Первые работы Пуанкаре сразу же привлекли к нему внимание европейских математиков, заставили их пристально следить за его уверенными шагами. Следить и удивляться. Маститый немецкий математик Карл Вейерштрасс в письме к своей любимой ученице Софье Ковалевской пишет: "Обратила ли ты внимание на последние работы Пуанкаре? Это, во всяком случае, крупный математический талант...".
До 1884 года Пуанкаре публикует еще пять работ о новых функциях, названных им фуксовыми.
Почти два года провел Анри в Кане. Этот период оказался весьма важным, если не решающим, для его последующей судьбы. Именно здесь произошли те свершения, которые на долгие годы определили его жизнь и научную деятельность. Но при всей своей занятости и углубленности в сложнейшие проблемы математики Пуанкаре сумел заинтересоваться одной прелестной молодой особой и в то же время привлечь ее внимание к себе. Посвятив свое высокое интеллектуальное горение фуксовым функциям, он отдал мадемуазель Полен д'Андеси благородный пыл своего сердца. 20 апреля 1881 года в Париже торжественно празднуется их свадьба.
Благодаря блестящему открытию фуксовых (автоморфных) функций Пуанкаре в свои 27 лет приобрел столь большую известность в ученых кругах, что ему предлагают должность преподавателя на Факультете наук в Парижском университете. Семья Пуанкаре перебирается из нормандской столицы в столицу Франции. В октябре 1881 года он приступает к исполнению своих новых обязанностей. Свое свободное время Пуанкаре делит между домашним очагом и наиболее близкими друзьями – Полем Аппелем и Эмилем Пикаром – формируется математическое трио. Все трое в 1881 году вернулись в Париж после нескольких лет, проведенных в провинции, у всех троих уже были несомненные заслуги перед отечественной наукой. Прибывшие в Париж молодые математики сразу же оказались среди самых деятельных участников в подготовке выпусков специального журнала "Бюллетень математических наук и астрономии". Неразлучную троицу заботливо опекает Шарль Эрмит, профессор Нормальной школы и Парижского университета, член Академии наук, после смерти Коши ставший общепризнанным главою французских математиков.
В Париже Пуанкаре глубоко иccледовал вопрос об особых точках дифференциальных уравнений. Он выделил и классифицировал особые точки семейства интегральных кривых, изучил характер поведения интегральных кривых в окрестности особых точек, исследовал предельные циклы. Четыре больших мемуара под общим названием "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями", вышедшие в свет в 1882-1886 годах составили содержание нового раздела математики. Название ему дал сам Пуанкаре: качественные методы теории дифференциальных уравнений. До него этот кардинально новый подход даже не затрагивался. Как одну из задач, которая решается качественными методами, он изучал интегральные кривые, заданные на торе. Пуанкаре разработал также метод малого параметра и теорию интегральных инвариантов, заложил основы теории устойчивости дифференциальных уравнений по начальным условиям и малым параметрам.
С осени 1886 года Пуанкаре возглавил кафедру математической физики и теории вероятностей Парижского университета, а в январе 1887 года (в возрасте 33 лет) был избран членом Академии наук Франции.
Исследования по разработке теории автоморфных функций, так же как и работы по качественной теории дифференциальных уравнений, привлекли внимание Пуанкаре к топологии. Он ввел основные понятия комбинаторной топологии (числа Бетти, фундаментальную группу), доказал формулу, связывающую число ребер, вершин и граней n-мерного полиэдра (формулу Эйлера-Пуанкаре), дал первую интуитивную формулировку общего понятия размерности. Его открытия в дифференциальной геометрии, в алгебраической топологии, в теории вероятностей, в функциональном анализе и в других областях позволили Жану Дьедоне, одному из основателей группы Бурбаки, сказать: "Гений Пуанкаре эквивалентен гению Гаусса и столь же универсален. Он превосходил всех математиков своего времени".
В области математической физики Пуанкаре исследовал трехмерные колебания, вывел основную формулу теории распространения волн (в задаче о дифракции радиоволн), изучил ряд задач теплопроводности и теории потенциалов, ему принадлежат также труды по обоснованию принципа Дирихле. Для функций нескольких комплексных переменных он построил теорию интегралов, аналогичных интегралам Коши, показал, что всюду мероморфная функция двух комплексных переменных является отношением двух целых функций.
Когда Пуанкаре был еще ребенком, величественный спектакль звездной ночи пленил его младенческий ум. Позже он напишет в одной из своих статей: "Звезды шлют нам не только видимый и ощущаемый свет, действующий на наше плотское зрение; от них исходит также иной, более тонкий свет, проясняющий наш ум". Вероятно именно этот утонченный "свет" постигаемой истины увидел Пуанкаре своим внутренним зрением, когда интерес его обратился к законам движения небесных тел.
В январе 1889 года на международный конкурс, объявленный королем Оскаром II, было представлено одиннадцать работ. Жюри конкурса признало лучшими две из них. Одна работа принадлежала Полю Аппелю и называлась "Об интегралах функций со множителями и об их применении к разложению абелевых функций в тригонометрические ряды". Другая работа имела в качестве девиза строчку из латинского стихотворения: "Nunquam praescriptos transibunt sidera fines" ("Никогда не перейдут светила предписанных границ"). Это был мемуар Анри Пуанкаре, который представлял собой обширное исследование задачи трех тел. Обе работы были удостоены премии на равных основаниях. Друзья разделили славу и почести.
Подобно Эйлеру, Пуанкаре за короткий срок переосмыслил и обновил складывавшийся в течение двух столетий математический аппарат небесной механики, использовав самые последние достижения математики. В трехтомном трактате "Новые методы небесной механики" (1892-1899) Пуанкаре исследовал периодические и асимптотические решения дифференциальных уравнений, доказал асимптотичность некоторых рядов, являющихся решениями дифференциальных уравнений с частными производными, ввел методы малого параметра, метод неподвижных точек. Ему принадлежат также важные для небесной механики труды об устойчивости движения и о фигурах равновесия гравитирующей вращающейся жидкости. Метод "интегральных инвариантов", использованный Пуанкаре, стал классическим средством теоретического исследования не только в механике и астрономии, но и в статической физике и в квантовой механике. Вклад Анри Пуанкаре в небесную механику был столь значительным, что на вакантное место главы кафедры небесной механики Сорбонны он утверждается единогласно. Оставив кафедру математической физики и теории вероятностей, которой руководил десять лет, с осени 1896 года профессор Пуанкаре уже ведет курсы по некоторым традиционным разделам небесной механики.
Пуанкаре оказал огромное влияние на развитие теоретической мысли в период кризиса классической физики. В его статьях в 1897 - 1905 гг. до работ А. Эйнштейна были сформулированы основные положения специальной теории относительности, такие как, условность понятия одновременности, принцип относительности, постоянство скорости света, синхронизация часов световыми сигналами, преобразования Лоренца, инвариантность уравнений Максвелла и др.