Смекни!
smekni.com

Призма и параллелепипед (стр. 3 из 4)

Если S – полная поверхность параллелепипеда

, то

.

7. Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

Доказательство

У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.

8. В параллелепипеде

грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро
также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы
. Найдите диагональ
.

Решение

Треугольник

– равносторонний, т.к.
= AB и
. Поэтому
. Аналогично,
. Боковые рёбра
треугольной пирамиды
с вершиной
равны между собой, значит, высота
этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника
находим, что

Поскольку

, точка
равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку
||
и
=
, четырёхугольник
– прямоугольник, поэтому OK=
=5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK=
. Из прямоугольных треугольников MKB и
находим, что:

9. На ребре AD и диагонали

параллелепипеда
взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости
и AM:AD = 1:5. Найдите отношение
.

Решение

Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости

и
пересекаются по прямой
, поэтому прямые
и
пересекаются в некоторой точке Q, причём

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и

пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно
. Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой
и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости
). Рассмотрим параллелограмм
. Так как

то

10. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Решение

Пусть O – общая середина отрезков

,
и
. Тогда AB||
и AD||
. Значит, плоскости ABD и
параллельны. Аналогично, плоскость
параллельна плоскости
. В плоскостях ABD и
возьмём соответственно точки C и
так, что ABCD и
– параллелограммы. Так как CD||AB , AB||
и
||
, то CD||
. Поэтому плоскости
и
также параллельны. Шестигранник
, образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.

Тесты

1. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 4 см.

Варианты ответов:


А
Б В Г Д
см
9 см
см
24 см
см

Решение

Длина диагонали параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений и составит

2. Сосчитайте сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер

Варианты ответов:

А Б В Г Д
8 10 12 24 6

3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников

и
, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов
…,
, называется:

А) параллелепипед;

Б) призма;

В) пирамида;

Г) многогранник;

Д) конус.

4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется…

А) высотой призмы;

Б) ребром призмы;

В) медианой призмы;

Г) диагональю призмы;

Д) стороной призмы.

5. Прямая призма называется правильной, если ее основания…

А) равнобедренные треугольники;