Если S – полная поверхность параллелепипеда
, то .7. Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.
Доказательство
У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.
8. В параллелепипеде
грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы . Найдите диагональ .Решение
Треугольник
– равносторонний, т.к. = AB и . Поэтому . Аналогично, . Боковые рёбра треугольной пирамиды с вершиной равны между собой, значит, высота этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD , а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника находим, чтоПоскольку
, точка равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку || и = , четырёхугольник – прямоугольник, поэтому OK= =5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK= . Из прямоугольных треугольников MKB и находим, что:9. На ребре AD и диагонали
параллелепипеда взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости и AM:AD = 1:5. Найдите отношение .Решение
Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости
и пересекаются по прямой , поэтому прямые и пересекаются в некоторой точке Q, причёмПо теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и
пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости ). Рассмотрим параллелограмм . Так как то10. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.
Решение
Пусть O – общая середина отрезков
, и . Тогда AB|| и AD|| . Значит, плоскости ABD и параллельны. Аналогично, плоскость параллельна плоскости . В плоскостях ABD и возьмём соответственно точки C и так, что ABCD и – параллелограммы. Так как CD||AB , AB|| и || , то CD|| . Поэтому плоскости и также параллельны. Шестигранник , образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед.Тесты
1. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 4 см.
Варианты ответов:
А | Б | В | Г | Д |
см | 9 см | см | 24 см | см |
Решение
Длина диагонали параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений и составит
2. Сосчитайте сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер
Варианты ответов:
А | Б | В | Г | Д |
8 | 10 | 12 | 24 | 6 |
3. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников
и , расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов …, , называется:А) параллелепипед;
Б) призма;
В) пирамида;
Г) многогранник;
Д) конус.
4. Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется…
А) высотой призмы;
Б) ребром призмы;
В) медианой призмы;
Г) диагональю призмы;
Д) стороной призмы.
5. Прямая призма называется правильной, если ее основания…
А) равнобедренные треугольники;