Кратные интегралы (стр. 2 из 3)
Тогда
Следовательно,
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
(15)5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(16)Пример 3.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если
Решение.
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(17)Пример 4.
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и
Решение.
Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:
Соответственно
6) Объем тела V:
(18)Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями
Решение.
Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость
проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0): 
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем: 
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
(19)8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20) 
(21)где γ (х, y, z) – плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
(22)9) Координаты центра масс тела:
II. Криволинейные и поверхностные интегралы
2.1Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsiдлиной Δsiи выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой:
.Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы
, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi: 
(24)Если кривую L можно задать параметрически:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,
то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой
(25)В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:
у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
. (26)Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.
Если существует конечный предел при
интегральной суммы 
, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается 
. (27)Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора
, и существуют интегралы 
,тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают
.Если кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то
. (28)Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:
(29)где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.
Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования являются:
. (30)При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdzявляется полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как
При этом функцию и можно найти по формуле
(31)где (x0, y0, z0) – точка из области D, aC – произвольная постоянная.
2.2Поверхностные интегралы
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Siточку
Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
Если существует конечный предел при
этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается 
. (32)Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = φ(x, y), вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла:
(33)где Ω – проекция поверхности S на плоскость Оху.
Разобьем поверхность Sна части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Diпроекции части Siна плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы
,не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
(34)