Частные производные 2 (стр. 3 из 6)

Например,

.

Пример 12: Частные производные третьего порядка функции z=x³y²+2x²y-6 есть:

Замечание 2. Восемь частных производных третьего порядка в силу теоремы 2 сводятся к четырем:

.

Замечание 3. Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого и высших порядков функции f (х,у), а также функций трех и большего числа аргументов. Для всех случаев имеют место теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.

3. Некоторые практические применения производной

3.1. Практическое применение производной при решении неравенств

Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.

Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

Если точка x₀является точкой экстремума для функции f и в этой точке существует производная, то f^/(x₀)=0. В точке экстремума функция может не иметь производную. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Чтобы установить, имеет ли функция в данной критической точке экстремум, пользуются следующими достаточными признаками существования экстремума.

Если функция fнепрерывна в точке x0 и существуют такие точки a, b, что f^/(x0)>0 (f^/(x0)<0 ) на интервале (a,x0) и f^/(x0)<0 (f^/(x0)>0 ) на интервале (x0,b), то точка x0 является точкой максимума (минимума) функции f.

Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b].

Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.

Пусть, например, требуется доказать, что на некотором промежутке имеет место неравенство f(x)³g(x). Обозначим f(x)-g(x) через F(x). С помощью производной F^/(x) находим наименьшее значение F на данном промежутке. Если оно неотрицательно, то во всех точках рассматриваемого промежутка F(x)³0, т.е. f(x)³g(x).

Пример 13: Доказать что (e+x)^e-x>(e-x)^e+xдля 0<x<e.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующему: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Пустьf(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

тогда

Т.к.

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e²-x²)<lne²=2,

то f^/(x)>0 при 0<x<e. Следовательно, функция f возрастает на интервале (0,e). Функция f(0) – непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0, а fвозрастает при 0£x<e, то f(x)>0 при 0<x<e.

Пример 14: Доказать неравенство tg^ka+ctg^ka³2+k²cos²2a, 0<a<p/2,

k–натуральные.

Решение:

Неравенство можно записать в виде:

Пусть сначала 0<a<p/4. На этом интервале ctga> tga, cos 2a>0, поэтому последнее неравенство эквивалентно неравенству ctg^k/2a–tg^k/2a³k*cos 2a.

Положимf(a)=ctgⁿa–tgⁿa–2n*cos 2a,где

.

Далее,

при

.

Здесь, как и в предыдущей задаче, использован тот факт, что сумма взаимно обратных положительных чисел больше или равна 2. Таким образом, на интервале

функция f убывает. В точке она непрерывна, поэтому (0; ] является промежутком убывания f. Наименьшим значением функции на этом промежутке является f( )=0. Следовательно, f(a)³0 при 0<a< . Для указанного промежутка неравенство доказано. Если <a< , то 0< – a< . Однако неравенство не меняется при заменен a на – a.

Пример 15: Что больше e^p или p^e ?

Решение:

Для решения задачи исследуем вопрос о существовании решений уравнения с двумя неизвестными: a^b=b^a, a>0, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a<b. Ввиду симметричности вхождения a и bв уравнение, последнее замечание не ограничивает общности рассуждений. Ясно, что уравнение a^b=b^a равносильно уравнению b*(lna)=a*(lnb), или

.

Пусть f(x)=

. (1)

Существование решений уравнения (1) эквивалентно наличию значений x₁ и x₂ (x₁<x₂) таких, что f(x₁)=f(x₂). В этом случае пара (x₁,x₂) является решением уравнения (1). Иными словами, требуется выяснить, найдется ли прямая y=c, пересекающая график функции f по крайней мере в двух различных точках. Для этого исследуем функцию f. Ее производная

в области определения f имеет единственную критическую точку x=e. При 0<x<ef^/(x)>0 функция f возрастает, а при x>e, f^/(x)<0 функция fубывает. Поэтому в точке x=eфункция f принимает свое наибольшее значение ( ). Так как функция непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от –¥ до . Аналогично, на промежутке [e,¥) функция fпринимает все значения из (0; ]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

1. Если 0<a<bи a£1, то

. Поэтомуa^b<b^a . Следовательно, уравнение (1) и равносильное ему уравнение a^b=b^a не имеют решений.

2. Если 1<a<b£e, то a^b<b^a и уравнение a^b=b^a также не имеют решений.

3. Если b>a>e, то a^b>b^a.

Таким образом, если (a,b) является решением уравнения a^b=b^a , то 1<a<e, b>e. Более того, при каждом фиксированном значении 1<a<e найдется единственное значение b>e такое, что a^b=b^a