Частные производные 2 (стр. 5 из 6)
Решение:
Предположим, что уравнение имеет, по крайней мере, два корня
и 
. Функция f, где 
дифференцируема на всей числовой прямой. Так как 
, то согласно свойству 3, ее производная 
на интервале 
имеет корень. Однако при 
уравнение 
решений не имеет. Полученное противоречие показывает, что уравнение не может иметь более одного корня.Пример 21:Доказать, что многочлен
, 
, 
имеет не более n корней.Решение:
Согласно свойству 3, между двумя корнями многочлена лежит, по крайнем мере, один корень его производной. Поэтому, если многочлен f(x) имеет
, различных корней, то его производная 
должна иметь не менее (k-1) корней. Точно так же 
– не менее k-2 корней и т.д., n-ая производная – не менее (k-n) корней, 
. Это невозможно, так как 
является отличной от нуля постоянной.Пример 22: Доказать, что многочлен
имеет корень между 0 и 1 ( 
).Решение:
Применение свойства 2 к цели не приводит, так как
. Рассмотрим функцию g, где 
. Для нее функция f является производной. Так как 
, то согласно свойству 3, при некотором 
.Пример 23:Доказать, что уравнение
не имеет действительных корней.Решение:
Пусть
, тогда 
. Если x – корень уравнения, то 
, т.е. функция f, в силу ее непрерывности, убывает в окрестности каждого корня. Заметим, что если уравнение имеет корни, то они отрицательные. Известно, что многочлен n-й степени имеет не более n корней. Обозначим через 
- наибольший из корней. Тогда существует такое 
, 
что 
. Так как 
, то на интервале 
должен находиться корень x многочлена f(x) получили противоречие.Рассмотрим уравнение вида
, где f, g – взаимно обратные, возрастающие функции, имеющие одинаковые области определения. Покажем, что это уравнение равносильно уравнению 
. (3)В самом деле, пусть а является корнем уравнения (3), т.е.
. Учитывая, что область определения функции g совпадает со множеством значений функции fим наоборот, можно записать: 
, или 
, т.е. 
, а является корнем уравнения .Обратно, пусть
, но 
. Тогда 
или 
. первом случае 
. Точно так же получается противоречие и во втором случае.Таким образом, получен один частный прием равносильного преобразования уравнений.
Пример 24: Решить уравнение
.Решение:
Перепишем данное уравнение в виде
. Функция 
непрерывна, возрастающая (как сумма двух возрастающих функций 
и 
), поэтому она имеет обратную. Найдем ее: 
, 
. Итак, обратной для f является функция 
, совпадающая правой частью уравнения. На основании доказанного выше уравнение эквивалентно уравнению 
. Ясно, что 
является корнем уравнения. Убедимся, что других корней уравнение не имеет.Пусть
. Тогда 
положительна как разность между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел 
и 
.Таким образом, функция h возрастает на всей числовой оси. Так как 
, то h(x)>0 при 
и 
при 
, т.е. - единственный корень уравнения.3.3. Использование производной в физике
3.3.1. Скорость материальной точки
Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении
материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый
момент времени.
Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t – t0 и вычислим приращение пути: ∆s = f(t0 + ∆t) - f(t0). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за время ∆t, протекшее от исходного момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ∆t → 0.
Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) - это
величина a=∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:
То есть первая производная по времени (v'(t)).
Пример 25: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2).
Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет
равно 2 м/с2?
Решение:
v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;
1,8 = 0,18t; t = 10 c
3.3.2. Теплоемкость вещества при данной температуре
Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное
T1 - T, на 1 кг данного вещества необходимо разное количество теплоты
Q1 - Q, причем отношение
для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного
вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры