Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 10 из 17)

Слід зазначити, що якщо

- розв'язна група, то обмежник тягне обмеженість довжини ряду комутантів групи .

Нехай

означає наступне твердження:

: для кожного позитивного цілого числа існує таке ціле число , що всяка розв'язна група експоненти , породжувана елементами, має порядок не більше .

Теорема 2.4.

істинно, якщо істинно для всіх ступенів простих чисел , що ділять .

Зокрема, тому що відомо, що

, і щирі, те щирі й . У цих випадках, як і завжди, коли ділиться тільки на два простих числа, ми можемо слово "розв'язна" замінити у формулюванні словом "кінцева". Якщо - число, вільне від квадратів, ми навіть можемо обчислити , коли відомі для всіх простих , що ділять , і всіх . Так, порядок найбільшої кінцевої -породженої групи експоненти 6 дається формулою

де й

Нехай потрібно довести індукцією один по одному групи

нерівність

Тут

і - числові інваріанти, для деякого класу кінцевих груп, що ми вважаємо замкнутим. Ми вважаємо , що (2.3) виконується для досить малих , отже й для , і, крім того, що:

(I) якщо

- підгрупа , те ;

(II)

;

(III) якщо

- факторгрупа , те .

Тоді справедлива

Лема 2.5. У доказі нерівності (2.3) індукцією один по одному групи

можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою.

Справді, якщо

володіє двома мінімальними нормальними підгрупами й , ми одержимо, що , так що ізоморфно підгрупі прямого добутку . Так як - інваріант, що має однакові значення для ізоморфних груп, останні (I) і (II) дають

У силу припущення індукції

й у силу умови (III) . Таким чином, , і точно також , так що , що й було потрібно.

Помітимо, що всі силовські

-інваріанти, згадані раніше, крім , задовольняють умовам (I), (II) і (III). Те ж вірно й для інваріанта розв'язної групи й інваріанта -розв'язної групи; задовольняє умові (III). Таким чином, якщо задовольняє умовам (I) і (II), те цим же умовам задовольняє будь-яка функція , а якщо задовольняють умові (III), те цій же умові задовольняє будь-яка функція , що не убуває по кожному з аргументів. Тому що всі наші нерівності тривіальні для досить малих груп , то легко бачити, що твердження останньої леми можна застосовувати щораз, коли це необхідно.

Теорема 2.6. Якщо

- розв'язна група, те .

Доводячи теорему індукцією один по одному

, можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Тому що розв'язно, ця підгрупа буде -групою для деякого простого числа . Тоді у верхньому -ряді (2.2) групи підгрупа . Звідси