Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 11 из 17)

Але

й -1, у той час як при інваріанти й мають однакові значення для й .

Нехай пропозиція індукції, застосована до групи

, дає

Звідси треба теорема.

Нам знадобитися далі важлива властивість верхнього

-ряду -розв'язної групи, що зручно вивести в небагато більше загальному контексті. Нехай - деяка множина простих чисел, а - додаткове до множина. -група - це кінцева група, порядок якої ділиться тільки на прості числа, що входять в. Кінцева група -розв'язна, якщо кожний її композиційний фактор є або -групою, або -групою. Така група володіє верхнім -поруч, для якого ми використовуємо ті ж позначення, що й у випадку, коли містить одне просте число . Таким чином, ми пишемо

для ряду нормальних підгруп, вимагаючи, щоб факторгрупа

була найбільшої нормальною -підгрупою в , а факторгрупа - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Лема 2.7. Якщо

-розв'язна група не містить неодиничну -підгрупу, так що , то група містить свій централізатор у групі .

Нехай

- централізатор групи . Якщо лема не вірна й , то ми можемо вибрати нормальну підгрупу групи , таку, що й мінімальну при цьому умові. Тому що група -розв'язна, факторгрупа виявляється або -групою, або -групою, а по визначенню групи вона не може бути -групою. Отже, факторгрупа є -група й порядки груп і взаємно прості. По теоремі Шура, група має доповнення в групі . Тому що , трансформування групи елементом з індуцірує її внутрішній автоморфізм, а тому що порядки й взаємно прості, цей автоморфізм може бути тільки тотожним. Тоді - прямий добуток і . Тому є характеристичною підгрупою в , а отже, нормальною підгрупою в , у протиріччі із припущенням, що . Це протиріччя доводить лему. Помітимо, що припущення насправді зайво, тому що в загальному випадку ми можемо застосувати лему до факторгрупи .

Наслідок 2.8. Нехай

- деяка підгрупа , індекс якої не ділиться ні на яке просте число з , тоді центр групи втримується в центрі групи .

Дійсно, підгрупа

повинна містити нормальну -підгрупу групи .

Наслідок 2.9. Нехай

- деяка підгрупа групи , що містить , тоді не володіє неодиничної нормальної -підгрупою.

Дійсно, нормальна

-підгрупа групи повинна втримуватися в центролизаторе групи .

Під

-підгрупою кінцевої групи ми маємо на увазі таку підгрупу, порядок і індекс якої взаємно прості. Якщо група розв'язна і її порядок дорівнює , де , то група володіє -підгрупами порядку й будь-які дві з них сполучені, а тому ізоморфні.