Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 13 из 17)

Наслідок 2.12.

.

По лемі група

не володіє неодиничної нормальної -підгрупою, і наступні члени її верхнього -ряду являють собою фактор групи по відповідних членів верхнього -ряду групи .

Теорема 2.13. Для кожної

-розв'язної групи

(I)

(II)

Ми можемо використовувати індукцію один по одному групи

й припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою . Очевидно, ми можемо також припустити, що , звідки наслідку з леми 2.11 , а, отже, , і - елементарна абелева -група. Тепер, думаючи , ми одержимо, що , так що по припущенню індукції містимо, що . Якщо - група порядку , то порядок її групи автоморфизмов дорівнює

так що

. Відповідно до леми 2.11, група ізоморфна деякій підгрупі групи , так що , звідки . Таким чином,

що й було потрібно.

З іншої сторони відповідно до наслідку 1 леми 2.7,

містить центр силовської -підгрупи групи , так що . Тому що , те індукція для (II) проводиться відразу.

Нерівності, отримані десь, аж ніяк не є найкращими. Для непарних

їх значно можна підсилити. Однак при теорему 2.13 поліпшити не можна.

Останню теорему можна застосувати для короткого доказу тверджень

і .

3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

У справжньому главі описані нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп. До цього класу груп ставляться, зокрема, і кінцеві групи із примарними індексами несверхразрешимих груп. Доводиться

Теорема 3.1. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна

або , де - нильпотентна група, а й - прості числа.

Наслідок 3.2. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешими, ізоморфна

або , де - -група, або , де - -група.

Відзначимо, що кінцеві групи з нильпотентними підгрупами непримарного індексу вивчені С. С. Левищенко [13]. Серед них немає нерозв'язних груп.

Розглядаються тільки кінцеві групи. Всі позначення, що зустрічаються, і визначення стандартні, їх можна знайти в [2,14].

Нам знадобиться наступна

Лема 3.3. Нехай у кінцевій групі

кожна несверхразрешима група володіє нильпотентним додаванням. Тоді в будь-якій підгрупі й у будь-який фактор-групі групи кожна несверхразрешима підгрупа володіє нильпотентним додаванням.

Proof. Нехай

- довільна підгрупа кінцевої групи , і нехай - несверхразрешимая підгрупа з . У групі існує нильпотентное додавання до підгрупи . Тому , а . Тепер - нильпотентна, і до можна взяти нильпотентне додавання в підгрупі .

Нехай

- нормальна в підгрупа, і - несверхразрешимая в підгрупа. Тоді несверхразрешима, і існує нильпотентна підгрупа така, що . Тепер нильпотентна й , тобто до підгрупи можна знайти в нильпотентное додавання.

Доведемо теорему.

Приклад. Шлях

- кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до підгруп. Тому що не -нильпотентна, те в існує -замкнута підгрупа Шмидта , де - нормальна в силовська 2-підгрупа, підгрупа - циклічна [14,c. 434]. Оскільки не є сверхразрешимої, те існує нильпотентна підгрупа така, що . З урахуванням парності порядку з теореми 2.8 [15] містимо, що фактор-група ізоморфна або , де - деяке просте число, а - найбільша розв'язна нормальна в підгрупа. Крім того,