Смекни!
smekni.com

Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 14 из 17)

а

Тут

і
- 'елементарна абелева й циклічна підгрупи порядку
. З теореми 2.10 [15] одержуємо, що
- простої число.

У випадку, коли

й
- прості числа в простій групі
, кожна несверхразрешима підгрупа ізоморфна групі
. Остання підгрупа має в
циклічне доповнення
. Тому група
у випадку, коли
й
- прості числа, задовольняє умові теореми.

Перевіримо, що група

не задовольняють умові теореми. Нехай

Відомо, що

- нормальна в
підгрупа, а
- циклічна група порядку
. Для силовської
-підгрупи
з
маємо

Тепер

Оскільки

й
- прості числа, то в
існує підгрупа
порядку
. Для
підгрупа
-замкнута, і зовнішній автоморфізм
не централізує силовскую
-підгрупу, тому
несверхразрешима. Тому що в
немає нильпотентною підгрупи порядку
, то
не задовольняє умові теореми при
. Якщо
, то в
для підгрупи Шмидта, ізоморфній знакозмінній групі
ступеня
, повинна найтися нильпотентна підгрупа
порядку, що ділиться на
. Але такий нильпотентною підгрупи в
немає.

Отже, якщо

, те
ізоморфна
, де
й
- прості числа.

Нехай тепер

. Припустимо, що
не є мінімальною нормальною в
підгрупою, і нехай
- мінімальна нормальна в
підгрупа, що втримується в.
По індукції,
, де
- нильпотентна, а
ізоморфна
або
. Тому що
, те
- власна в
підгрупа, і для її прообразу
в групі
по індукції одержуємо, що
, де
або
. Підгрупа
характеристична в
, а
нормальна в
, тому
нормально в.
Тому що

те

Оскільки для несверхразрешимої підгрупи

з
існує нильпотентна підгрупа
така, що
, те