Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 15 из 17)

буде нильпотентною підгрупою.

Тепер розглянемо випадок, коли

- мінімальна нормальна в підгрупа. Припустимо, що комутант - власна в підгрупа. Тому що

те

З мінімальності

одержуємо, що

Тому що

де

й - прості числа, то в цьому випадку теорема доведена.

Отже, нехай

. Якщо - власна підгрупа у своєму централізаторі, то із простоти треба, що втримується в центрі . Тепер група ізоморфна або по теоремі VI.25.7 [14].

Нехай

само централізована. Оскільки розв'язно, те - -група для деякого простого . Допусти, що існує простої , що ділить порядок , і нехай - силовська -підгрупа з . Якщо підгрупа сверхразрешима, то нильпотентна й не само централізована. Якщо не сверхразрешима, то за умовою теореми існує нильпотентна підгрупа така, що . Але тепер

буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп, протиріччя. Отже,

- найбільше просте число, що ділить порядок .

Допустимо, що

не втримується в. Тоді - власна в підгрупа й . Тому що , і - -група, те - група непарного порядку. Підгрупа має порядок і - просте число. Тому й тепер , а фактор-група

буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп. Протиріччя.

Отже,

утримується в і із й нильпотентності одержуємо, що - -група для найбільшого простого , що ділить порядок . З теореми 2.1 [15] одержуємо, що , а . Але тепер - підгрупа непримарного індексу. Тому вона сверхразрешима, а тому що її порядок дорівнює , те нильпотентна, і знову не само централізована. Протиріччя.

Теорема доведена повністю.

Розглянемо доказ наслідку.

Proof. Нехай

- кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі. Якщо - несверхразрешима в підгрупа, те , де - просте число. Тепер для силовської -підгрупи з , тобто група задовольняє умові теореми. Тому

або

де

- нильпотентна група. Якщо

те в

є несверхразрешима підгрупа індексу . Тому що цей індекс повинен бути примарним, те або , тому або , а - або -група, або -група. Якщо

те в

є несверхразрешимая підгрупа Шмидта порядку , а її індекс дорівнює й повинен бути примарним, тобто повинна бути -групою. Наслідок доведений.