Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 2 из 17)

- головний ранг групи ;

- - головний ранг групи ;

- є максимальною підгрупою групи ;

Нехай

- максимальний ланцюг підгруп, тобто для всіх . Якщо розв'язно, то всі індекси максимального ланцюга примарні, тобто . Тоді:

.

При введенні позначень

і розглядаються всі максимальні ланцюги.

- - довжина групи ;

- нильпотентна довжина групи ;

- похідна довжина групи ;

- є підгрупою групи ;

- є власною підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа - неодинична власна підгрупа;

- є нормальною підгрупою групи ;

- є мінімальною нормальною підгрупою групи ;

- є субнормальною підгрупою групи ;

- підгрупа характеристична в групі , тобто для будь-якого автоморфізму ;

- індекс підгрупи в групі ;

;

- ядро підгрупи в групі , тобто перетинання всіх підгруп, сполучених з в ;

- підгрупа, породжена всіма підгрупами, сполученими з підгрупою з елементами з , тобто ;

- централізатор підгрупи в групі ;

- нормалізатор підгрупи в групі ;

- центр групи ;

- циклічна група порядку ;

- симетрична група ступеня ;

- знакозмінна група ступеня .

Якщо

й - підгрупи групи , то:

- прямий добуток підгруп і ;

- напівпрямий добуток нормальної підгрупи й підгрупи ;

- і ізоморфні.

Дужки

застосовуються для позначення підгруп, породжених деякою множиною елементів або підгруп.

- підгрупа, породжена всіма , для яких виконується .

Групу

називають:

- замкнутої, якщо ;

- нильпотентною, якщо ;

- розкладеної, якщо й нормальні в.

Ряд підгруп

називається:

субнормальним, якщо

для кожного ;