Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 4 из 17)

(ii)

якщо не є простим числом Ферма, і , якщо - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема.

Визначення. Група

називається - сверхразрешимою, якщо її головні фактори або -групи, або мають прості порядки. -Сверхразрешимой називають групу, у якої фактори головного ряду або мають порядок , або є -групами. Група, у якої всі фактори головного ряду мають прості порядки, називається сверхразрешимой.

Теорема E. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимим підгруп ізоморфна

або , де - нильпотентна група, а й - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі, ізоморфна

або , де - - група, або , де - -група.

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи

називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через . Множина простих дільників порядку групи позначається через а найбільшу нормальну -підгрупу групи - через .

Лема 1.1. (1)

- найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи ;

(2)

;

(3)

.

Proof. (1) Нехай

і - нильпотентние нормальні підгрупи групи й нехай і - силовські -підгрупи з і . Тому що , а , те по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, , тому . Ясно, - -група. Покажемо, що вона силовська в. Для цього обчислимо її індекс:

Тому що чисельник не ділиться на

, те - силовська -підгрупа групи . Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи .

(2) Ясно, що

для всіх , тому

Обернено, якщо

- силовська -підгрупа групи , те й нормальна в , тому й

(3) Якщо

, те й нильпотентна, тому по (1) і .

Лема 1.2. (1)

; якщо розв'язно й , те ;

(2)

(3) якщо , те ; якщо, крім того, абелева, те

Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні

- нильпотентна нормальна підгрупа групи , те . Нехай - розв'язна неодинична група. Тоді розв'язна й неодинична. Нехай

Тому що

- -група для деякого простого , то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Отже, .