(2) Якщо
, те - нильпотентна нормальна в підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому йЗворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.
(3) Для мінімальної нормальної підгрупи
або , або . Якщо , тоЯкщо
, то - елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що , те . З іншого боку, по теоремі 4.4, с. 35, тому .Теорема 1.3.
для кожного . Зокрема, якщо розв'язно, теProof. Нехай
, . Тому що по лемі 4.5, с. 35, те . Припустимо, що для деякого й нехайЯсно, що
й Нехай - силовська -підгрупа групи . Тому що -група, те , а оскільки , те й . Тепер, - нильпотентна нормальна підгрупа групи й . Таким чином, і перше твердження доведене. Якщо розв'язно, то розв'язно, тому й .Говорять, що підгрупа
групи доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що й . У цьому випадку підгрупу називають доповненням до підгрупи в групіТеорема 1.4. Якщо
- нильпотентна нормальна підгрупа групи й , те дополняема в.Proof. За умовою
а по теоремі 4.6, с. 35, комутант . По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні а за умовою Тому й абелева. Нехай - додавання до в. По лемі 4.8, с. 35, Оскільки й те й по теоремі 4.7, с. 35,Отже,
і - доповнення до в.Теорема 1.5. Факторгрупа
є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .Proof. Припустимо спочатку, що
й позначимо через підгрупу Фиттинга По теоремі 4.6 комутант Але значить по теоремі 4.7, с. 35. Тому й абелева. Нехай - прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи найбільшого порядку. Тоді й по теоремі 1.4 існує підгрупа така, що По тотожності Дедекинда Але абелева, тому а тому що , те На вибір перетинання й