Смекни!
smekni.com

Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 5 из 17)

(2) Якщо

, те
- нильпотентна нормальна в
підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому
й

Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.

(3) Для мінімальної нормальної підгрупи

або
, або
. Якщо
, то

Якщо

, то
- елементарна абелева
-група для деякого простого
. Тому що
, те
. З іншого боку,
по теоремі 4.4, с. 35, тому
.

Теорема 1.3.

для кожного
. Зокрема, якщо
розв'язно, те

Proof. Нехай

,
. Тому що
по лемі 4.5, с. 35, те
. Припустимо, що
для деякого
й нехай

Ясно, що

й
Нехай
- силовська
-підгрупа групи
. Тому що

-група, те
, а оскільки
, те
й
. Тепер,
- нильпотентна нормальна підгрупа групи
й
. Таким чином,
і перше твердження доведене. Якщо
розв'язно, то
розв'язно, тому
й
.

Говорять, що підгрупа

групи
доповнюємо в
, якщо існує така підгрупа
, що
й
. У цьому випадку підгрупу
називають доповненням до підгрупи
в групі

Теорема 1.4. Якщо

- нильпотентна нормальна підгрупа групи
й
, те
дополняема в.

Proof. За умовою

а по теоремі 4.6, с. 35, комутант
. По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні
а за умовою
Тому
й
абелева. Нехай
- додавання до
в.
По лемі 4.8, с. 35,
Оскільки
й
те
й по теоремі 4.7, с. 35,

Отже,

і
- доповнення до
в.

Теорема 1.5. Факторгрупа

є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи
.

Proof. Припустимо спочатку, що

й позначимо через
підгрупу Фиттинга
По теоремі 4.6 комутант
Але
значить
по теоремі 4.7, с. 35. Тому
й
абелева. Нехай
- прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи
найбільшого порядку. Тоді
й по теоремі 1.4 існує підгрупа
така, що
По тотожності Дедекинда
Але
абелева, тому
а тому що
, те
На вибір
перетинання
й