Нехай тепер
і По лемі 1.2(2) Тому що те для твердження вже доведене.Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.
Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.
Proof. Нехай
По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа
нормальна в. Якщоголовний ряд групи
, тенормальний ряд групи
. Тому що підгрупа втримується в кожній підгрупі , тедля
. По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа нильпотентна, тому .Перевіримо зворотне включення. Нехай
- головний фактор групи . Тому щоте по лемі 4.11, с. 35, або
абоУ першому випадку
, томуУ другому випадку з нильпотентності підгрупи
по лемі 1.2 одержуємо, щоЗнову
. Таким чином, і .Лема 1.8.
.Proof. Нехай
. Ясно, що й . Тому щоте
й ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . ТомуНехай
- група й нехайЯсно, що
У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне
таке, що .Нильпотентною довжиною розв'язної групи
називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через . Таким чином, якщо група розв'язна й , теТому побудований ряд нормальний і його фактори
нильпотентни.Ясно, що
тоді й тільки тоді, коли група нильпотентна.Приклад 1.9.
.Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає
Лема 1.10. Нехай
- розв'язна група. Тоді:(1)
;(2)
.Лема 1.11. (1) Якщо
- розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи з нильпотентними факторами не менше, ніж .(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.
Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи
. Нехайнормальний ряд групи
з нильпотентними факторами. Тому що - нормальна нильпотентна підгрупа групи , те й . Тут . Факторгрупа має порядок менше, ніж порядок групи й володіє поручде
. Ясно, що це нормальний ряд, його довжина і його факторинильпотентни. По індукції
й .(2) треба з (1).Лема 1.12. Нехай
- розв'язна група. Тоді:(1) якщо
, те ;(2) якщо
, те ;