Смекни!
smekni.com

Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 6 из 17)

Нехай тепер

і
По лемі 1.2(2)
Тому що
те для
твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай

По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа

нормальна в.
Якщо

головний ряд групи

, те

нормальний ряд групи

. Тому що підгрупа
втримується в кожній підгрупі
, те

для

. По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа
нильпотентна, тому
.

Перевіримо зворотне включення. Нехай

- головний фактор групи
. Тому що

те по лемі 4.11, с. 35, або

або

У першому випадку

, тому


У другому випадку з нильпотентності підгрупи

по лемі 1.2 одержуємо, що

Знову

. Таким чином,
і
.

Лема 1.8.

.

Proof. Нехай

. Ясно, що
й
. Тому що

те

й
ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи
. Тому

Нехай

- група й нехай

Ясно, що


У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне

таке, що
.

Нильпотентною довжиною розв'язної групи

називають найменше
, для якого
. Нильпотентну довжину розв'язної групи
позначають через
. Таким чином, якщо група
розв'язна й
, те

Тому побудований ряд нормальний і його фактори

нильпотентни.

Ясно, що

тоді й тільки тоді, коли група
нильпотентна.

Приклад 1.9.

.

Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає

Лема 1.10. Нехай

- розв'язна група. Тоді:

(1)

;

(2)

.

Лема 1.11. (1) Якщо

- розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи
з нильпотентними факторами не менше, ніж
.

(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.

Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи

. Нехай

нормальний ряд групи

з нильпотентними факторами. Тому що
- нормальна нильпотентна підгрупа групи
, те
й
. Тут
. Факторгрупа
має порядок менше, ніж порядок групи
й володіє поруч

де

. Ясно, що це нормальний ряд, його довжина
і його фактори

нильпотентни. По індукції

й
.

(2) треба з (1).Лема 1.12. Нехай

- розв'язна група. Тоді:

(1) якщо

, те
;

(2) якщо

, те
;