(3) якщо
й , тезокрема, якщо
й - розв'язні групи,те(4)
.Proof. Нехай
і . Тоді(1) Нехай
. Тоді рядбуде нормальним рядом підгрупи
з нильпотентними факторамиПо лемі 1.11.
(2) Нехай
і . Тоді рядбуде нормальним рядом групи
з нильпотентними факторамиПо лемі 1.10.
(3) Ясно, що
. Позначимо . Тоді по лемі 1.10, а по індукціїТому
. Тому що по (1), те маємо(4) Покладемо
. По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи маємо йТому
.Наступна теорема належить К. Дерку.
Теорема 1.13. Якщо
- максимальна підгрупа розв'язної групи , те , де .Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи
. Нехай - мінімальна нормальна підгрупа групи . Якщо , то й , де . Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи втримуються в. Якщо група містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те й по індукціїОскільки
те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група
містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо , то по лемі 1.12 і зновуОскільки
те знову теорема справедлива.
Отже, можна вважати, що
й по наслідку 1.6. По індукціїЯкщо
, то твердження справедливо. Нехай , тобто . Уважаємо, що - -група. Тоді - -група. Нехай . Якщо , то й , томуі теорема справедлива.
Залишається випадок, коли
. Тому що - -підгрупа, тепричому
- -група. Протиріччя.Приклад 1.14.
Всі три значення
в теоремі 1.13 мають місце. Значення виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення виконується на групі з максимальною підгрупою . Значення виконується на групі , у якої силовська -підгрупа максимальна.Якщо факторгрупа
нильпотентна, то групу називають метанильпотентною.Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.
(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.
Proof. Позначимо через
перетинання всіх максимальних підгруп групи , що не містить , а через перетинання максимальних підгруп групи , що містять . Ясно, що підгрупи й характеристичні в групі й