Смекни!
smekni.com

Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 7 из 17)

(3) якщо

й
, те

зокрема, якщо

й
- розв'язні групи,те

(4)

.

Proof. Нехай

і
. Тоді

(1) Нехай

. Тоді ряд

буде нормальним рядом підгрупи

з нильпотентними факторами

По лемі 1.11.

(2) Нехай

і
. Тоді ряд

буде нормальним рядом групи

з нильпотентними факторами

По лемі 1.10.

(3) Ясно, що

. Позначимо
. Тоді
по лемі 1.10, а по індукції

Тому

. Тому що
по (1), те маємо

(4) Покладемо

. По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи
маємо
й

Тому

.

Наступна теорема належить К. Дерку.

Теорема 1.13. Якщо

- максимальна підгрупа розв'язної групи
, те
, де
.

Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи

. Нехай
- мінімальна нормальна підгрупа групи
. Якщо
, то
й
, де
. Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи
втримуються в.
Якщо група
містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те
й по індукції

Оскільки


те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група

містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо
, то
по лемі 1.12 і знову

Оскільки

те знову теорема справедлива.

Отже, можна вважати, що

й
по наслідку 1.6. По індукції

Якщо

, то твердження справедливо. Нехай
, тобто
. Уважаємо, що
-
-група. Тоді
-
-група. Нехай
. Якщо
, то
й
, тому

і теорема справедлива.

Залишається випадок, коли

. Тому що
-
-підгрупа, те

причому

-
-група. Протиріччя.

Приклад 1.14.

Всі три значення

в теоремі 1.13 мають місце. Значення
виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення
виконується на групі
з максимальною підгрупою
. Значення
виконується на групі
, у якої силовська
-підгрупа максимальна.

Якщо факторгрупа

нильпотентна, то групу
називають метанильпотентною.

Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Позначимо через

перетинання всіх максимальних підгруп групи
, що не містить
, а через
перетинання максимальних підгруп групи
, що містять
. Ясно, що підгрупи
й
характеристичні в групі
й