Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 8 из 17)

(1) У факторгрупи

підгрупа Фиттинга

по лемі 1.2, тому

Припустимо, що

й нехай - мінімальна нормальна підгрупа групи , що втримується в. Тому що підгрупа нормальна в групі й факторгрупа нильпотентна, те по теоремі 4.3, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Але тепер

протиріччя. Тому допущення невірно й

, тобто .

(2) Нехай

- розв'язна ненильпотентна група. Ясно, що й

Тому підгрупа

метанильпотентна.

Приклад 1.16. У нерозв'язній групі

центр, підгрупа Фратіні й підгрупа Фиттинга збігаються й мають порядок . Тому в групі немає максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

Отже, твердження (1) теореми 1.15 у нерозв'язних групах порушується.

2.

- довжина - розв'язної групи

Нехай

- просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона -розв'язна для всіх простих . Ясно, що група - розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд

у якому кожна факторгрупа

є або -групою, або -групою. Тому для такої групи ми можемо индуктивно визначити верхній -ряд.

зажадавши, щоб

була найбільшої нормальною -підгрупою в , а - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Найменше ціле число

, для якого , ми назвемо -довгої групи й позначимо його , або, якщо необхідно, .

-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду (2.2). Підгрупи й , мабуть, характеристични в , і містить всі нормальні підгрупи групи з -довгої, не переважаючого числа . Помітимо також, що

для

Підгрупи й факторгрупи

-розв'язної групи також -розв'язні, і їхня довжина не перевищує . Якщо групи й обидві -розв'язні, то таке ж їхній прямий добуток і

Нехай

- -розв'язна група й - її силовська -підгрупа. Розумно припустити, що чим більше -довго групи , тим більшої повинна бути складність силовської підгрупи . Додамо точний зміст цьому твердженню й доведемо його декількома способами, обираючи різні критерії складності . Найбільш природні із цих критеріїв, силовські -інваріанти групи , такі: