Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп (стр. 9 из 17)

(i)

де - порядок ,

(ii)

- клас нильпотентності , тобто довжина (верхнього або) нижнього центрального ряду ,

(iii)

- довжина ряду комутантів ,

(iv)

де - експонента , тобтонайбільший з порядків елементів . Експонента самої групи , тобто найменшого загальне кратне порядків її елементів, дорівнює тому . Очевидно, рівність нулю кожного з інваріантів або рівносильно тому, що є -групою.

В основних теоремах обмежимося випадком непарних простих чисел

, і навіть тоді результати будуть трохи різними, залежно від того, чи є простим числом Ферма чи виду ні.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 2.1. Якщо

- -розв'язна група, де - непарне просте число, те

(i)

(ii)

якщо не є простим числом Ферма, і , якщо - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

Ми встановимо також нерівності, що зв'язують

c і з , але тут наші результати будуть тільки для простих чисел, що не є простими числами Ферма. Всі ці результати тривіальні для , і ми доведемо їхньою індукцією по . Припустимо, що й що , як завжди володіє верхнім -поруч (2.2). Нехай підгрупа Фратіні -групи . Усякий елемент групи індуцирує внутрішній автоморфізм групи й, отже, групи . Але, як відоме, є елементарної абелевой -групою; тому її можна ототожнити з аддитивной групою векторного простору над простим полем характеристики , а її автоморфізм - з лінійними перетвореннями цього простору. Автоморфизми групи , індуковані елементами , утворять тому лінійну групу над полем характеристики . Ця група, мабуть, є гомоморфним образом групи , і ми покажемо, що в дійсності вона ізоморфна групі , і тому є -розв'язною групою, не утримуючої нормальної підгрупи, відмінної від одиниці.

Теорема 2.2. Нехай

- розв'язна лінійна група над полем характеристики , не утримуюча неодиничну нормальну -підгрупу. Нехай - елемент порядку в. Тоді мінімальне рівняння для має вигляд .

Число

задовольняє наступній умові. Нехай найменше ціле число (якщо воно існує), для якого є ступенем простого числа із властивістю . Якщо не існує, то ; у противному випадку

Цей результат, доповнений більше детальними відомостями про елементи

, для яких , буде ключем до доказу теореми А. Треба помітити, що нерівність може виконуватися тільки тоді, коли або коли - простої число Ферма. Теорема В и подібні їй теореми доводяться в основному прямим визначенням найменшої групи, що задовольняє цим умовам, і прямим обчисленням. При цьому відіграє важливу роль наступна теорема, цікава сама по собі.

Теорема 2.3. Нехай

- якась -група, на яку діє -група , причому деякий елемент групи діє нетривіально на , але тривіально на кожну щиру -інваріантну підгрупу групи . Тоді існує таке просте число , що є або елементарної абелевой -групою, або -групою класу нильпотентності 2, у якої центр і комутант збігаються, факторгрупа по комутанту - елементарна абелева група й подання на неприводимо.