Пример 7.
.Решение. Имеем неопределенность вида [
], так какВыделим у дроби целую часть
.Введем новую переменную
и выразим отсюда через : . ТогдаЗаметим, что при
переменная . Теперь, переходя к новой переменной и используя второй замечательный предел, получим:=
.Неопределенности вида
путем алгебраических преобразований приводятся к виду . Неопределенности вида , можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующую функцию. Неопределенности вида можно исключить, используя правило Лопиталя, которое изложено в конце темы 2.Пример 8. Первоначальный вклад в банк составил
денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно % годовых. Необходимо найти размер вклада через лет при непрерывном начислении процентов. Решить задачу при =10, =5%, =20 лет.Решение. При
% годовых размер вклада ежегодно будет увеличиваться в раз, т.е. .Если начислять проценты по вкладам не один раз в год, а
раз, то размер вклада за лет при начислениях составит .Тогда размер вклада за
лет при непрерывном начислении процентов ( ) сводится к нахождению предела .Здесь при решении использовался второй замечательный предел.
Подставляя исходные числовые данные задачи, получаем
Вопросы для самопроверки
Дайте определение предела функции в точке.
Назовите основные свойства пределов функций.
Какие виды неопределенностей встречаются при нахождении пределов?
Какие пределы называются замечательными?
Какие функции называют бесконечно малыми?
Задачи для самостоятельной работы
Найти пределы следующих функций:
Номер варианта | А) | Б) |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 |
Таблица 1.
Тема 2. Производная функции
Приращением функции
в точке , соответствующим приращению аргумента , называется число .Производной функции
в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается: .Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция
имеет в точке конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.Важнейшими правилами дифференцирования являются следующие.
Производная постоянной
равна нулю: .Постоянный множитель выносится за знак производной
.Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго
.Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле
.Пусть переменная
есть функция от переменной (например, ), а переменная , в свою очередь, есть функция от независимой переменной ( ), иначе задана сложная функция .