Если
и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной :Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.
Таблица 2.
№ | функция | производная | № | функция | производная |
1 | 7 | 1/ | |||
2 | 8 | -1/ | |||
3 | 1/ | 9 | 1/( ) | ||
4 | 10 | -1/( ) | |||
5 | 11 | 1/(1+ ) | |||
6 | - | 12 | -1/(1+ ) |
Пример 1. Найти производную функции
.Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть
, тогда и . Найдем производную по промежуточному аргументу как степенной функции .В свою очередь, промежуточный аргумент
представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим=
.Отсюда производная искомой функции
.Пример 2. Найти производную функции
.Решение. Обозначим
, . Тогда и искомая производная находится из формулы .Производную
находим из таблицы производных элементарных функций .Второй сомножитель
представляет производную от степенной функцииНаконец, последняя производная
находится по правилам дифференцирования частного=
= .В итоге получаем искомую производную
.Пример 3. Наити производную
.Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных
.Для нахождения производной первого слагаемого
обозначим , .Тогда
,=
Производную второго слагаемого
найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию : Дифференцируем левую и правую часть полученного равенстваОтсюда
Наконец, находим производную искомой функции
Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса
населения на некоторый товар в зависимости от цены : .Определить эластичность спроса при
(в условных денежных един.).Решение. Эластичностью спроса
называют предел отношения относительного приращения спроса к относительному приращению цены при :Если
>1, то спрос называют эластичным, при <1 – неэластичным, а при нейтральным.Найдем производную
.Тогда
.Определим эластичность спроса при
: . Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида
можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.