Смекни!
smekni.com

Исследование функций и построение их графиков (стр. 3 из 10)

Если

и
- дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу
, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной
:

Если функция, производную которой нужно найти, представляет из себя комбинацию элементарных функций, то для вычисления производной применяются правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, приводимая ниже.

Таблица 2.

функция производная функция производная
1
7
1/
2
8
-1/
3
1/
9
1/(
)
4
10
-1/(
)
5
11
1/(1+
)
6
-
12
-1/(1+
)

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Представим ее как сложную функцию. Пусть

, тогда
и
. Найдем производную по промежуточному аргументу
как степенной функции

.

В свою очередь, промежуточный аргумент

представляется в виде суммы двух степенных функций минус постоянная, поэтому, используя правила 1-3,по-лучим

=

.

Отсюда производная искомой функции

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Обозначим

,
. Тогда
и искомая производная находится из формулы
.

Производную

находим из таблицы производных элементарных функций

.

Второй сомножитель

представляет производную от степенной функции

Наконец, последняя производная

находится по правилам дифференцирования частного

=

=
.

В итоге получаем искомую производную

.

Пример 3. Наити производную

.

Решение. Производная суммы двух функций есть сумма их производных

.

Для нахождения производной первого слагаемого

обозначим
,
.

Тогда

,

=


Производную второго слагаемого

найдем по правилу дифференцирования степенно-показательной функции. Прологарифмируем функцию
:
Дифференцируем левую и правую часть полученного равенства

Отсюда

Наконец, находим производную искомой функции

Пример 4. На основе опытных данных построена математическая модель спроса

населения на некоторый товар в зависимости от цены
:

.

Определить эластичность спроса при

(в условных денежных един.).

Решение. Эластичностью спроса

называют предел отношения относительного приращения спроса
к относительному приращению цены
при
:

.

Если

>1, то спрос называют эластичным, при
<1 – неэластичным, а при
нейтральным.

Найдем производную

.

Тогда

.

Определим эластичность спроса при

:
. Таким образом, при такой цене имеем неэластичный спрос.

Правило Лопиталя. При нахождении пределов функций (тема 1) неопределенности вида

можно исключить, применяя правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, т. е.