Смекни!
smekni.com

Исследование функций и построение их графиков (стр. 4 из 10)


Если

(или
), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е.

В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.

Пример 5. Найти

Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.

Неопределенность вида

по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз:

Вопросы для самопроверки

Дайте определение производной функции в точке.

Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Назовите важнейшие правила дифференцирования.

Как находится производная сложной функции?

Сформулируйте правило Лопиталя.

Задачи для самостоятельной работы

Найти производные следующих функций:

Таблица 3.

Номер варианта А) Б) В)
1 y=(3x4-4x(-1/4)+2)5 y=arccos2x+(1-4x2)1/2 y=2tgx+x sin(2x
2 y=(5x2+4x(5/4)+3)3 y=arctg(x2-1)1/2 y=e3x-2x tg(3x)
3 y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3 y=arccos(1-x2)1/2 y=3cosx-x sin(2x)
4 y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4 y=arctg(x-1)1/2
5 y=(3x8+5x(2/5)-3)5 y=arctg(2/(x-3))
6 y=(5x4-2x(-3/2)+3)4 y=arccos(1-x)1/2
7 y=(4x3+3x(-4/3)-2)5 y=arcctg(x-1)1/2
8 y=(7x5-3x(5/3)-6)4 y=arcsin3x-(1-9x2)1/2 y=etgx-x1/2 cos(2x).
9 y=(3x4-4x(-1/4)-3)5 y=arctg(1/(x-1)) y=x tg3x+2x-2
10 y=(8x3-9x(-7/3)+6)5 y=arcsin((1-x)1/2)

Тема 3. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях

Дифференциалом функции

в точке
называется главная, линейная относительно приращения аргумента
часть приращения функции
, равная произведению производной функции в точке
на приращение независимой переменной:

.

Отсюда приращение функции

отличается от ее дифференциала
на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать
или

.

Приведенная формула используется в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить приближенно

Решение. Рассмотрим функцию

. Это степенная функция и ее производная найдется:

В качестве

требуется взять число, удовлетворяющее условиям:

- значение

известно или достаточно просто вычисляется;

- число

должно быть близким к числу 33,2, т.е. приращение
должно быть как можно меньше.

В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число

= 32, для которого
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Применяя формулу, находим искомое число:

+
.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение дифференциала функции в точке.

2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной?

3. Каким условиям должно удовлетворять число

, входящее в приведенную формулу?

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить приближённое значение

, заменив в точке
приращение функции
ее дифференциалом.

Таблица 4.

Номер варианта
1 3 502 512
2 4 267 256
3 5 234 243
4 6 685 729
5 7 142 128
6 3 349 343
7 4 605 625
8 5 255 243
9 6 773 729
10 7 156 128

Тема 4. Исследование функций и построение их графиков

Если функция одной переменной задана в виде формулы

, то областью ее определения называют такое множество значений аргумента
, на котором определены значения функции.

Пример 1. Значение функции

определены только для неотрицательных значений переменной
:
. Отсюда область определения функции будет полуинтервал [4;
).

Пример 2. Функция

не определена при таких значениях аргумента

, когда либо знаменатель равен нулю (
), либо подкоренное выражение отрицательно (
<3). Тогда областью определения служит множество, являющееся объединением интервалов (3;4)
(4;5)
(5;
).

Пример 3. Функция

определена только на отрезке [-1;1], так как значение тригонометрической функции
удовлетворяют неравенству: -1
1.

Функция

называется четной, если для любых значений
из области ее определения выполняется равенство

,

и нечетной, если справедливо другое соотношение:

. В других случаях функцию называют функцией общего вида.

Пример 4. Пусть

. Проверим:

.

Таким образом, эта функция является четной.

Для функции

верно:
. Отсюда эта функция нечетная.