Исследование функций и построение их графиков (стр. 5 из 10)

Их сумма

является функцией общего вида, так как не равна и .

Асимптотой графика функции

называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки ( ; ) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (а), горизонтальные (б) и наклонные (в) асимптоты.

2

а)

б)

в)

Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции равен в точке бесконечности или не существует), либо на концах ее области определения (a,b), если a,b –конечные числа.

Если функция

определена на всей числовой оси и существует конечный предел , либо , то прямая, задаваемая уравнением , является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая - левосторонней горизонтальной асимптотой.

Если существуют конечные пределы

и ,

то прямая

является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней ( ) или левосторонней ( ).

Функция

называется возрастающей на множестве , если для любых , таких, что > , выполняется неравенство: > (убывающей, если при этом:

< ).

Множество

в этом случае называют интервалом монотонности функции.

Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества

положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.

Пример 5. Дана функция

. Найти ее интервалы возрастания и убывания.

Решение. Найдем ее производную

. Очевидно, что >0 при >3 и <0 при <3. Отсюда функция убывает на интервале ( ;3) и возрастает на (3; ).

Точка

называется точкой локального максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

( ).

Значение функции в точке

называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.

Для того, чтобы функция

имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.

Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку

слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.

Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если

<0, то является точкой максимума, а если >0, то - точка минимума. При =0 вопрос о типе экстремума остается открытым.

Функция

называется выпуклой (вогнутой) на множестве , если для любых двух значений выполняется неравенство:

.