Смекни!
smekni.com

Исследование функций и построение их графиков (стр. 6 из 10)

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции

положительна (отрицательна) внутри множества
, то функция вогнута (выпукла) на
.

Точкой перегиба графика непрерывной функции

называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Вторая производная

дважды дифференцируемой функции в точке перегиба
равна нулю, то есть
= 0.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку

меняет свой знак, то
является точка перегиба ее графика.

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

Найти область определения функции.

Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график достаточно исследовать только для положительных значений

, а для
<0 график симметричен относительно оси
в случае четности функции и симметричен относительно начала координат – для нечетной функции).

Найти вертикальные асимптоты.

Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Найти точки пересечения функции с осями координат.

Пример 6. Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение. 1.Функция представляет многочлен 3-й степени, поэтому она определена и непрерывна для всех

.

2. Найдем значение функции при (-

):

а также

.

Таким образом, исследуемая функция является функцией общего вида и ее требуется исследовать на всей числовой оси.

Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва второго рода не имеет, следовательно, у нее вертикальные асимптоты отсутствуют.

Рассмотрим поведение функции в бесконечности.

Найдем пределы:

;

Так как пределы не являются конечными, то горизонтальных асимптот у функции нет.

Далее проверим наличие у функции наклонных асимптот. Вычислим предел:

.

Поскольку предел не является конечными, то наклонные асимптоты также отсутствуют. Если бы предел являлся конечным и равнялся k, то требовалось найти другой предел


.

В случае когда он также конечен (равен числу b), устанавливается наличие наклонной асимптоты с уравнением

.

Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:

.

Производная также определена и непрерывна на всей числовой оси. Отсюда критическими точками могут быть только те, где производная равна нулю.

Для нахождения стационарных точек функции приравниваем производную нулю:

и решаем квадратное уравнение:

=
= 4,

,

Теперь можно записать:


=0.

В итоге функция имеет две стационарные точки

.

Используя метод интервалов, найдем интервалы знакопостоянства производной функции.


+ +

1 _ 5/3

При

<1 и
>5/3 производная
>0, т.е. интервалы
и
являются интервалами возрастания функции.

При 1<

<5/3 имеем
<0 и интервалом убывания является
.

Поскольку при

<1 знак
>0, а при
>1
<0, то стационарная точка
= 1 является точкой максимума функции.

В другой стационарной точке

=
имеем
<0 слева от нее и
>0 справа. Следовательно, в точке
=
функция имеет локальный минимум.

Для нахождения интервалов выпуклости вычислим вторую производную функции:

.

Вторая производная также определена на всей числовой оси и точки, где она не существует, отсутствуют.

Приравнивая вторую производную к нулю:

= 0,

находим точку

3 =
, которая может быть точкой перегиба.

Если

<4/3, то
<0 и на интервале
функция вогнута. При
>4/3
>0 и интервал
является интервалом выпуклости функции.

В итоге, поскольку при переходе точки

производная меняет знак, то
является точкой перегиба функции.

Определим точки пересечения функции с координатными осями. Полагая аргумент

=0, находим точку пересечения графика функции с осью ординат
:
.

Записывая уравнение

,

найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Методом перебора из делителей свободного члена (равного 4) определяем, что

=2 является корнем этого уравнения. Разделим многочлен левой части уравнения на линейный бином (
):