Если вторая производная дважды дифференцируемой функции
положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на .Точкой перегиба графика непрерывной функции
называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.Вторая производная
дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть = 0.Если вторая производная при переходе через некоторую точку
меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика.При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:
Найти область определения функции.
Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график достаточно исследовать только для положительных значений
, а для <0 график симметричен относительно оси в случае четности функции и симметричен относительно начала координат – для нечетной функции).Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения функции с осями координат.
Пример 6. Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение. 1.Функция представляет многочлен 3-й степени, поэтому она определена и непрерывна для всех
.2. Найдем значение функции при (-
):а также
.Таким образом, исследуемая функция является функцией общего вида и ее требуется исследовать на всей числовой оси.
Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва второго рода не имеет, следовательно, у нее вертикальные асимптоты отсутствуют.
Рассмотрим поведение функции в бесконечности.
Найдем пределы:
;Так как пределы не являются конечными, то горизонтальных асимптот у функции нет.
Далее проверим наличие у функции наклонных асимптот. Вычислим предел:
.Поскольку предел не является конечными, то наклонные асимптоты также отсутствуют. Если бы предел являлся конечным и равнялся k, то требовалось найти другой предел
В случае когда он также конечен (равен числу b), устанавливается наличие наклонной асимптоты с уравнением
.Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:
.Производная также определена и непрерывна на всей числовой оси. Отсюда критическими точками могут быть только те, где производная равна нулю.
Для нахождения стационарных точек функции приравниваем производную нулю:
и решаем квадратное уравнение:
= = 4, ,Теперь можно записать:
В итоге функция имеет две стационарные точки
.Используя метод интервалов, найдем интервалы знакопостоянства производной функции.
1 _ 5/3
При
<1 и >5/3 производная >0, т.е. интервалы и являются интервалами возрастания функции.При 1<
<5/3 имеем <0 и интервалом убывания является .Поскольку при
<1 знак >0, а при >1 <0, то стационарная точка = 1 является точкой максимума функции.В другой стационарной точке
= имеем <0 слева от нее и >0 справа. Следовательно, в точке = функция имеет локальный минимум.Для нахождения интервалов выпуклости вычислим вторую производную функции:
.Вторая производная также определена на всей числовой оси и точки, где она не существует, отсутствуют.
Приравнивая вторую производную к нулю:
= 0,находим точку
3 = , которая может быть точкой перегиба.Если
<4/3, то <0 и на интервале функция вогнута. При >4/3 >0 и интервал является интервалом выпуклости функции.В итоге, поскольку при переходе точки
производная меняет знак, то является точкой перегиба функции.Определим точки пересечения функции с координатными осями. Полагая аргумент
=0, находим точку пересечения графика функции с осью ординат : .Записывая уравнение
,найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Методом перебора из делителей свободного члена (равного 4) определяем, что
=2 является корнем этого уравнения. Разделим многочлен левой части уравнения на линейный бином ( ):