Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.
В случае, когда искомая функция зависит от одной переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В общем виде оно записывается:
. (1)Порядок
старшей производной искомой функции, входящей в запись уравнения (1), называется порядком дифференциального уравнения.Решением уравнения называется такая функция
, которая при подстановке ее в уравнение (1) обращает его в тождество. Задача нахождения решения ДУ называется задачей интегрирования данного ДУ, а график решения ДУ называется интегральной кривой.Общим решением ДУ вида (1)
- го порядка называется функция ,где
- произвольные постоянные.Частным решением ДУ называется решение, получаемое из общего решения при конкретных числовых значениях постоянных
.Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, записывается в общем виде
. (2)Его общим решением является функция одной произвольной постоянной
. (3)Для получения однозначного решения требуется задать начальное условие, которое геометрически представляет собой задание точки плоскости, через которую проходит данная интегральная кривая. Например, оно может быть записано в виде
=const.С использованием данного условия общее решение (3) запишется
,что позволяет определить из полученного соотношения конкретное значение постоянной
и тем самым получить некоторое частное решение уравнения (2).ДУ 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде
. (4)Для нахождения общего решения такого уравнения его преобразовывают к виду, в котором дифференциал
и функция окажутся в одной части уравнения, а и - в другой: . (5)Затем интегрируются обе части полученного равенства (с одной общей постоянной)
.Пример 1. Найти общее решение следующего ДУ:
.Решение. Сначала преобразуем уравнение к виду (4)
,а затем к виду (5):
.Найдем интеграл от левой части. Для этого представим подынтегральную функцию в виде следующей суммы
.Приравнивая числители, получаем
.Найдем из последнего равенства
и , последовательно положив в нем =0 и =-1:При
=0 имеем =1, а при = -1 получаем =-1.Отсюда
.Интеграл от правой части
является табличным и равен .Запишем произвольную постоянную в виде
.Тогда
.Отсюда
или .Разрешая относительно
, окончательно получаем общее решение уравнения .Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно имеет вид
. (6)Если
0, то уравнение (6) называют однородным, в противном случае – неоднородным.Один из вариантов решения уравнения (6) сводится к представлению решения в виде произведения двух функций
, (7)одна из которых является произвольной, а другая определяется из уравнения (6).
Так как
, (8)то подставляя (7) и (8) в уравнение (6), получим:
. (9)Полагая функцию
произвольной, найдем ее из условия равенства нулю выражения в круглых скобках уравнения (9), т.е. как частное решение уравнения: ,которое является уравнением с разделяющимся переменным.
Тогда при определенной
) можно найти функцию из оставшейся упрощенной (из-за равенства нулю выражение в круглой скобке) части уравнения (9): ,которая также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Найденные
и определяют общее решение исходного дифференциального уравнения.Пример 2.Найти общее и частное решение уравнения
с начальным условием .Решение. Разделим левую и правую часть на
: .Получили линейное неоднородное уравнение.
Пусть
, тогда и исходное уравнение примет вид: или . (10)Потребуем:
, т.е. .Отсюда, разделяя переменные
и проинтегрировав
,получим общее решение
и частное (например, положив
= 0) или .