Исследование функций и построение их графиков (стр. 1 из 10)

Тема 1. Предел функции

Число А называется пределом функции

при , стремящимся к , если для любого положительного числа ( >0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию x x< , выполняется неравенство x А x< .

Для предела функции вводится обозначение

=А.

Пределы функций обладают следующими основными свойствами:

Функция не может иметь более одного предела.

Если

= С (постоянная), то С.

Если существует

А, то для любого числа верно:

Если существуют

А и В, то = АВ, а если В 0, то

.

Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула

Если функция

непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :

Функция

( называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю: Функция называется бесконечно большой величиной при , если

Пример 1.

9.

Пример 2.

.

В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа

(бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших ( ).Кроме названных встречаются неопределенности вида

Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:

- первый замечательный предел

-второй замечательный предел

(число Эйлера).

Пример 3.

.

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида

:

.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени

и найдем его решение:

Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители

.

Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.

Уравнение

имеет решения

и знаменатель представляется в виде:

Сократим дробь на множитель

и вычислим ее при

Пример 4.

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида

. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю

=

.

Пример 5.

.

Решение. Имеем неопределенность вида

. Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:

.

Пример 6.

.

Решение. При

имеем неопределенность вида . Представим , разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и , тогда предел преобразуется к виду:

.

Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:

.