Задачи по Математике 2

Часть 1.

Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры.

1.1.(х₀, у₀) равно:

Ответ: 0

1.2.[z₀, y₀] равно:

Ответ: - х₀

1.3.[z₀, x₀] равно:

Ответ: y₀

1.4.(х₀,z₀) равно:

Ответ: 0

1.5.(y₀,z₀) равно:

Ответ: 0

1.6.[z₀,r₀] равно:

Ответ: Ф₀

1.7.[Ө₀, r₀] равно:

Ответ: -Ф₀

1.8.(z₀,Ф₀) равно:

Ответ: 0

1.9.[ Ф₀, Ө₀] равно:

Ответ: -r₀

1.10.(х₀, [y₀,z₀]) равно:

Ответ:1, (z₀, [x₀,y₀])

1.11. (x₀, [z₀,y₀]) равно:

Ответ: (y₀,[x₀,z₀]), -1

1.12. (x₀, [y₀,y₀]) равно:

Ответ: 0

1.13. [x₀, [y₀,z₀]] равно:

Ответ: 0, y₀(x₀,z₀) – z₀(x₀,y₀)

1.14. (r₀,[z₀,Ф₀]) равно:

Ответ:-1, (Ф₀, [r₀, z₀])

1.15. (r₀, [Ө₀, Ф₀]) равно:

Ответ: 1, (Ф₀, [r₀, Ө₀])

1.16. (x₀, [y₀,z₀]) равно: Ответ:1

1.17. (x₀,[y₀, x₀]) равно:

Ответ: 0

1.18. Коэффициенты Ламэ в прямоугольной системе координат равны:

Ответ: h₁=1, h₂=1, h₃=1

1.19. Коэффициенты Ламэ в цилиндрической системе координат равны:

Ответ: h₁=1, h₂=r, h₃=1

1.20. Коэффициент Ламэ в сферической системе координат равны:

Ответ: h₁=1, h₂=r, h₃=rsinѲ

1.21. (a, b) скалярное произведение векторов a и b в декартовой системе координат равно:

Ответ: a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z

1.22. [a, b] – векторное произведение векторов aи b в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (x₀y₀z₀ ….)

1.23. (a, [b, c]) – смешанное произведение векторов a, b,c в декартовой системе координат равно:

Ответ: выбрать матрицу (a_xb_xc_x…..)

1.24. Двойное векторное произведение векторов А, В и С равно:

Ответ: А х (В х С) = В(А,С) – С(А,В)

1.25. (А,[A,B])равно:

Ответ: 0

1.26. (A,[B,B]) равно:

Ответ: 0

1.27. (A,[B,C]) равно:

Ответ: (C,[A,B]), (B,[C,A])

1.28. A x (B x C) равно:

Ответ: B(A,C) – C(A,B)

1.29. Объем параллелепипеда построенного на векторах А,В и С равен:

Ответ: |(A,[B,C])|

1.30. Угол между векторами А и В равен:

Ответ: ф=arcsin |[A,B]|/|A| x |B|

Ф= arccos (A,B)/|A| x |B|

1.31. Проекция вектора А на направление вектора В равна:

Ответ: (А, В) /|B|

1.32. Орт радиус-вектора r=x₀x+ y₀y + z₀z равен:

Ответ:длинное выражение с корнями

1.33. Площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В равна:

Ответ: |ABsinф|, где |A|= A, |B| = B, ф - угол между векторами

|[A,B]|

1.34. Если [A,B]=C, то [B,A] равно:

Ответ: -С, -С₀|C|∂

Часть 2.

Векторный анализ:

- Скалярное поле. Градиент

- Векторное поле. Дивергенция. Ротор. Оператор Гамильтона.

2.1. gradψ – градиент скалярной функции ψ в декартовой системе координат равен:

Ответ: x₀ ∂ψ/∂x+y₀ ∂ψ/∂y+z₀∂ψ/∂z

2.2.gradr – градиент скалярной функции r = |r|, где r = x₀x+y₀y+z₀z, равен:

Ответ: x₀∂r/∂x+ y₀ ∂r/∂y+ z₀∂r/∂z, r₀

2.3. grad ln(r), где r =|r|, r₀=r/r, r=x₀x+y₀y+z₀z, равен:

Ответ: r₀/r

2.4. grad sin r,где r=|r|=√x^2+y^2+z^2, r=x₀x+y₀y+z₀z равен:

Ответ: d sin r/ dr grad r, (cos r) r₀

2.5. grad 1/r, где r=|r|,r=x₀x+y₀y+z₀z равен:

Ответ: -r₀/r^2

2.6. [gradr, r] равно:

Ответ: 0

2.7.Производная скалярной функции U=r(r=|r|), по направлению оси OZ, где r=x₀x+y₀y+z₀zравна:

Ответ: ∂U/∂z=(gradr, z₀), ∂U/∂z=z/r

2.8. Производная скалярной функции U=1/r(r=|r|), по направлению радиус вектора r=x₀x+y₀y+z₀z равна:

Ответ: ∂U/∂r=(grad(1/r),r₀), ∂U/∂r=-1/r^2

2.9. Производная скалярной функции U=r, где r=|r|= √x^2+y^2+z^2 , по направлению оси OX равна:

Ответ: ∂U/∂x=(gradr, x₀), ∂U/∂x=x/r

2.10. Производная скалярной функции U=lnr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x₀x+y₀y+z₀zравна:

Ответ: ∂U/∂r=1/r, ∂U/∂r=(grad(lnr), r₀)

2.11. Производная скалярной функции U=cosr (где r=|r|) по направлению радиус вектора r=x₀x+y₀y+z₀zравна:

Ответ: ∂U/∂r= (grad(cosr), r₀), ∂U/∂r=-sinr

2.12. divF –дивергнеция вектора F=x₀F_x+y₀F_y+z₀F_zравна:

Ответ: ∂F_x/∂x+∂F_y/∂y+∂F_z/∂z

2.13. В поле вектора а отсутствуют источники и стоки, если:

Ответ:diva = 0 , (перевернутый треуг, а)=0, где переверн. треуг. – оператор Гамильтона

2.14. div (r), где r=x₀x+ y₀y+z₀z, равна:

Ответ:3, dr_x/dx+dr_y/dy+dr_z/dz

2.15. div (sin(r)r), где r=|r|, r=x₀x+y₀y+z₀z равна:

Ответ: 3sin(r)+r cos(r), sin(r)div(r)+(r,grad(sin(r)))

2.16. div ((ln r)r), где r=|r|, r=x₀x+y₀y+z₀z равна:

Ответ:(lnr)div r+(grad lnr,r), 3 ln r+1/r(r/r,r)

2.17. Поток вектора F через поверхность S – это:

Ответ: Ф=∫(F,n₀)ds, где n₀-единичный вектор нормали n к поверхности S

2.18. Дивергенция орта радиус-вектора r₀=r/r, где r=|r|, r=x₀x+y₀y+z₀z равна:

Ответ: div r₀=1/r div r + (grad1/r,r), div r₀=2/r

2.19. теорема Остроградского-Гаусса это:

Ответ: ∮Fds=∫divFdv,где S-замкнутая поверхность, ограничивающая объем V

2.20 rot F – ротор вектора F=x₀F_x+y₀F_y+z₀F_zравен:

Ответ: матрица

2.21.Поле вектора а потенциально, если

Ответ:rota=0, a=gradψ, где ψ- скалярная функция

2.22. Ротор орта радиус- вектора r₀=r/r, где r=|r|, r=x₀x+y₀y+z₀zравен:

Ответ:rot r₀=1/rrotr+[grad 1/r, r], rot r₀=0

2.23.Теорема Стокса- это:

Ответ: ∮Fdl=∫rotFds, где L- одновитковый замкнутый контур, S – поверхность опирающаяся на L

2.24. Если циркуляция вектора Fпо замкнутому контуру L равна нулю,( ∮Fdl=0) то:

Ответ:Поле вектора F – потенциально, rotF=0

2.25. Поле радиус – вектора r=x₀x+y₀y+z₀z:

Ответ: Содержит источники и стоки, потенциально

2.26. rotr, где r=x₀x+y₀y+z₀zравен:

Ответ: 0

2.27. rot(f(r) r), где r=|r|, r=x₀x+y₀y+z₀ z, равен:

Ответ: 0, f(r) rotr +[gradf(r),r]

2.28. Выражение перевернутый треугольник х F=[ перевернутый треугольник х F], где F=x₀F_x+y₀F_y+z₀F_z , а перевернутый треугольник- оператор Гамильтона равно:

Ответ: rotF

2.29. Выражение первернутый треугольник в квалрате = треугольник в декартовой системе координат равно:

Ответ: ∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2

2.30. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что gradψ равен:

Ответ:[перев треуг, перев треуг]ψ, 0

2.31. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divgradψравна:

Ответ: переверн треуг в квадрате ψ, (перев треуг, перевер треуг)ψ

2.32. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что rotrotF равен:

Ответ:graddivF – перев треуг в квадрате F

2.33. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что grad(ψφ), где ψ и φ скалярные функции, равен:

Ответ:φ gradψ+ψgradφ

2.34. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что div(ψF), где ψ-скалярная функция, рвна:

Ответ:ψdivF+(gradψ,F)

2.35. Используя понятие оператора Гамильтона, доказать, что divrotFравна:

Ответ:0, (переверн треуг, [перев треуг,F])

2.36. Выражение переверн треуг ψ, где ψ-скалярная функция, а перев треуг – оператор Гамильтона равно:

Ответ:gradψ, x₀∂ψ/∂x+y₀∂ψ/∂y+z₀∂ψ/∂z

2.37. Выражение перев треуг х F=(переверн треуг,F), где F=x₀F_x+y₀F_y+z₀F_z, а перев треуг – оператор Гамильтона рано:

Ответ: div F, матрица