Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственный технический университет
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие по математике
для студентов всех специальностей
заочной формы обучения
2007
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основные определения и понятия
Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных, или вещественных чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
2) положительное направление, указываемое стрелкой;
3) масштаб для измерения длин.
Между всеми действительными числами и всеми точками числовой осисуществует взаимно–однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа x называется неотрицательное действительное число ׀x׀, определяемое следующим образом: ׀x׀ = x, если x ≥ 0, и ׀x׀ = –x, если x< 0.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.
Переменная величина называется упорядоченной, если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность
Переменная величина называется возрастающей (убывающей), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:
– M ≤ x ≤ M, т.е. ׀x׀ ≤ M.
Переменная величина y называется (однозначной) функцией переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y.
Переменная x называется в этом случае аргументом, или независимойпеременной, а множество X – областью определения функции.
Запись y = f(x) означает, что y является функцией x. Значение функции f(x) при x = a обозначают через f(a).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал (открытый промежуток) (a, b), т.е. совокупность значений x, удовлетворяющих условию a < x < b; сегмент (отрезок или замкнутыйпромежуток)
Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y = f(x).
Функция f(x) называется чётной, если
Функция f(x) называется периодической, если существует такое положительное число T, называемое периодом функции, что для любого значения x выполняется равенство
Наименьшим же периодом функции называется наименьшее положительное число τ, для которого f(x + τ) = f(x) при любом x. Следует иметь в виду, что f(x + kτ) = f(x), где k – любое целое число.
Функции задаются:
1) аналитически (в виде формулы), например,
2) графически (в виде графика);
3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.
Основными элементарными функциями являются следующие, аналитически заданные функции:
1. Степенная функция:
2. Показательная функция:
3. Логарифмическая функция:
4. Тригонометрические функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx,
y = sec x, y = cosec x.
5. Обратные тригонометрические функции:
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x,
y= arccosecx.
Если y является функцией от u, а u есть функция от x, то y также зависит от x. Пусть y = F(u), u = φ(x). Тогда y = F(φ(x)). Последняя функция называется функцией от функции, или сложной функцией. Например, y = sinu, u =
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y = f(x), где выражение f(x) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Например, y = ׀x׀ =
Пример 1. Найти
Решение. Найдём значения данной функции при x = a и x = b:
Тогда получим
Пример 2. Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:
а)
г)
Решение. а) Так как
б) Имеем
f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
в) Здесь
f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
г) Здесь
Пример 3. Найти область определения функции
Решение. Функция